Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4110
2019-07-18 
Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, удалён от концов её боковой стороны на расстояния 15 и 20. Найдите стороны трапеции.
Решение:
Пусть $O$ - центр окружности, $K$ - точка касания с большей боковой стороной $AB$ трапеции $ABCD$, $M$ и $N$ - точки касания с меньшим и большим основаниями $AD$ и $BC$ соответственно.
Поскольку треугольник $AOB$ прямоугольный, а $OK$ - его высота, опущенная на гипотенузу, то
$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{20^{2}+15^{2}}=25,$
$AK\cdot AB=OA^{2},~BK\cdot AB=OB^{2}.$
Отсюда находим, что $AK=9$, $BK=16.$ Кроме того,
$R^{2}=OK^{2}=AK\cdot BK=9\cdot16=144.$
Поэтому $R=12$. Следовательно,
$AD=12+9=21,~BC=12+16=28,~CD=2R=24.$
Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, удалён от концов её боковой стороны на расстояния 15 и 20. Найдите стороны трапеции.
Решение:
Пусть $O$ - центр окружности, $K$ - точка касания с большей боковой стороной $AB$ трапеции $ABCD$, $M$ и $N$ - точки касания с меньшим и большим основаниями $AD$ и $BC$ соответственно.
Поскольку треугольник $AOB$ прямоугольный, а $OK$ - его высота, опущенная на гипотенузу, то
$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{20^{2}+15^{2}}=25,$
$AK\cdot AB=OA^{2},~BK\cdot AB=OB^{2}.$
Отсюда находим, что $AK=9$, $BK=16.$ Кроме того,
$R^{2}=OK^{2}=AK\cdot BK=9\cdot16=144.$
Поэтому $R=12$. Следовательно,
$AD=12+9=21,~BC=12+16=28,~CD=2R=24.$
