Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 411
2014-06-07 
Доказать, что для любых ненулевых значении $\alpha, \beta$ корни $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ многочлена
$\alpha x^{3} - \alpha x^{2} + \beta x + \beta$
удовлетворяют равенству
$(x_{1} + x_{2} + x_{3}) \left ( \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}} \right ) = -1$.
Решение:
По теореме Виета для корней $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ многочлена $\alpha x^{3} - \alpha x^{2} + \beta x + \beta$ имеем
$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1, x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{1}x_{3} = \beta / \alpha, x_{1}x_{2}x_{3} = -beta / \alpha$.
Поэтому
$(x_{1} + x_{2} + x_{3}) \left ( \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}} \right ) = (x_{1} + x_{2} + x_{3}) \frac{x_{2}x_{3} + x_{1}x_{3} + x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}x_{3}} = 1 \cdot \frac{\beta}{\alpha} \cdot \left ( - \frac{\beta}{\alpha} \right )^{-1} = -1$.
Доказать, что для любых ненулевых значении $\alpha, \beta$ корни $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ многочлена
$\alpha x^{3} - \alpha x^{2} + \beta x + \beta$
удовлетворяют равенству
$(x_{1} + x_{2} + x_{3}) \left ( \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}} \right ) = -1$.
Решение:
По теореме Виета для корней $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ многочлена $\alpha x^{3} - \alpha x^{2} + \beta x + \beta$ имеем
$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1, x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{1}x_{3} = \beta / \alpha, x_{1}x_{2}x_{3} = -beta / \alpha$.
Поэтому
$(x_{1} + x_{2} + x_{3}) \left ( \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}} \right ) = (x_{1} + x_{2} + x_{3}) \frac{x_{2}x_{3} + x_{1}x_{3} + x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}x_{3}} = 1 \cdot \frac{\beta}{\alpha} \cdot \left ( - \frac{\beta}{\alpha} \right )^{-1} = -1$.
