Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4106
2019-07-18 
Стороны треугольника равны 10, 10, 12. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей.
Решение:
Пусть $r$ - радиус вписанной окружности треугольника $ABC$ ($AC=BC=10$, $AB=12$), $r_{c}$, $r_{b}$ и $r_{a}$ - радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон $AB$, $AC$ и $BC$ соответственно, $O_{c}$, $O_{b}$ и $O_{a}$ - их центры, $S$ - площадь треугольника $ABC$, $p$ - его полупериметр.
Первый способ. Поскольку высота $CK$ треугольника $ABC$ равна 8, то $S=48$ (рис.1). Следовательно,
$r=\frac{S}{p}=\frac{48}{16}=3.$
Если окружность с центром $O_{c}$ касается продолжения стороны $BC$ в точке $M$, то из подобия треугольников $CMO_{c}$ и $CKB$ находим, что
$r_{c}=O_{c}M=BK\cdot\frac{CM}{CK}=BK\cdot\frac{BC+BM}{CK}=BK\cdot\frac{BC+BK}{CK}=6\cdot\frac{16}{8}=12.$
Пусть окружность с центром $O_{a}$ касается продолжения стороны $AB$ в точке $F$, а продолжения стороны $AC$ - в точке $E$ (рис.2). Поскольку $CO_{a}$ - биссектриса угла $BCE$, а $CK$ - биссектриса его смежного угла $ACB$, то $\angle O_{a}CK=90^{\circ}$. Поэтому $O_{a}CKF$ - прямоугольник. Следовательно,
$r_{b}=r_{a}=O_{a}F=CK=8.$
Второй способ. Пусть $a$, $b$ и $c$ - стороны произвольного треугольника, $S$ - его площадь, $p$ - полупериметр, $r$ - радиус вписанной окружности, $r_{a}$, $r_{b}$ и $r_{c}$ - радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон $a$, $b$ и $c$ соответственно. Тогда
$r=\frac{S}{p},~r_{a}=\frac{S}{p-a}$
. В нашем случае
$r=\frac{S}{p}=\frac{48}{16}=32,~r_{c}=\frac{S}{p-c}=\frac{48}{16-12}=12,$
$r_{b}=r_{a}=\frac{S}{p-a}=\frac{48}{16-10}=8.$
Третий способ. Оставим обозначения, принятые в предыдущих способах. Поскольку $AO$ - биссектриса треугольника $AKC$ (рис.3), то
$\frac{OK}{OC}=\frac{AK}{AC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5},$
а т.к. $OK=r$, то
$r=OK=\frac{3}{8}CK=\frac{3}{8}\cdot8=3.$
Поскольку $AO_{c}$ - биссектриса внешнего угла треугольника $AKC$, то
$\frac{O_{c}K}{O_{c}C}=\frac{AK}{AC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5},$
а т.к. $O_{c}K=r_{c}$, то
$r_{c}=O_{c}K=\frac{3}{2}CK=\frac{3}{2}\cdot8=12.$
Поскольку $CO_{a}$ - биссектриса угла $BCE$, а $CK$ - биссектриса его смежного угла $ACB$, то $\angle O_{a}CK=90^{\circ}$. Поэтому $O_{a}CKF$ - прямоугольник. Следовательно,
$r_{b}=r_{a}=O_{a}F=CK=8.$
Стороны треугольника равны 10, 10, 12. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей.
Решение:
Пусть $r$ - радиус вписанной окружности треугольника $ABC$ ($AC=BC=10$, $AB=12$), $r_{c}$, $r_{b}$ и $r_{a}$ - радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон $AB$, $AC$ и $BC$ соответственно, $O_{c}$, $O_{b}$ и $O_{a}$ - их центры, $S$ - площадь треугольника $ABC$, $p$ - его полупериметр.
Первый способ. Поскольку высота $CK$ треугольника $ABC$ равна 8, то $S=48$ (рис.1). Следовательно,
$r=\frac{S}{p}=\frac{48}{16}=3.$
Если окружность с центром $O_{c}$ касается продолжения стороны $BC$ в точке $M$, то из подобия треугольников $CMO_{c}$ и $CKB$ находим, что
$r_{c}=O_{c}M=BK\cdot\frac{CM}{CK}=BK\cdot\frac{BC+BM}{CK}=BK\cdot\frac{BC+BK}{CK}=6\cdot\frac{16}{8}=12.$
Пусть окружность с центром $O_{a}$ касается продолжения стороны $AB$ в точке $F$, а продолжения стороны $AC$ - в точке $E$ (рис.2). Поскольку $CO_{a}$ - биссектриса угла $BCE$, а $CK$ - биссектриса его смежного угла $ACB$, то $\angle O_{a}CK=90^{\circ}$. Поэтому $O_{a}CKF$ - прямоугольник. Следовательно,
$r_{b}=r_{a}=O_{a}F=CK=8.$
Второй способ. Пусть $a$, $b$ и $c$ - стороны произвольного треугольника, $S$ - его площадь, $p$ - полупериметр, $r$ - радиус вписанной окружности, $r_{a}$, $r_{b}$ и $r_{c}$ - радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон $a$, $b$ и $c$ соответственно. Тогда
$r=\frac{S}{p},~r_{a}=\frac{S}{p-a}$
. В нашем случае
$r=\frac{S}{p}=\frac{48}{16}=32,~r_{c}=\frac{S}{p-c}=\frac{48}{16-12}=12,$
$r_{b}=r_{a}=\frac{S}{p-a}=\frac{48}{16-10}=8.$
Третий способ. Оставим обозначения, принятые в предыдущих способах. Поскольку $AO$ - биссектриса треугольника $AKC$ (рис.3), то
$\frac{OK}{OC}=\frac{AK}{AC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5},$
а т.к. $OK=r$, то
$r=OK=\frac{3}{8}CK=\frac{3}{8}\cdot8=3.$
Поскольку $AO_{c}$ - биссектриса внешнего угла треугольника $AKC$, то
$\frac{O_{c}K}{O_{c}C}=\frac{AK}{AC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5},$
а т.к. $O_{c}K=r_{c}$, то
$r_{c}=O_{c}K=\frac{3}{2}CK=\frac{3}{2}\cdot8=12.$
Поскольку $CO_{a}$ - биссектриса угла $BCE$, а $CK$ - биссектриса его смежного угла $ACB$, то $\angle O_{a}CK=90^{\circ}$. Поэтому $O_{a}CKF$ - прямоугольник. Следовательно,
$r_{b}=r_{a}=O_{a}F=CK=8.$
