Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4103
2019-07-18 
Во вписанном четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB=a$, $AD=b$ ($a\gt b$). Найдите $BC$, если известно, что стороны $BC$, $CD$ и $AD$ касаются некоторой окружности, центр которой находится на стороне $AB$.
Решение:
Пусть $O$ - центр окружности, о которой говорится в условии задачи. Тогда $DO$ и $CO$ - биссектрисы углов при вершинах $D$ и $C$ данного четырёхугольника.
Пусть $\angle D=2\alpha$, $\angle C=2\beta$, $\alpha\gt\beta$. От луча $DA$ в полуплоскость, содержащую точку $O$, отложим луч под углом $\beta$. Поскольку $\beta\lt\alpha$, этот луч проходит между сторонами угла $ADO$, поэтому он пересекает сторону $AB$ в некоторой точке $M$, лежащей между $A$ и $O$,
$\angle AMD=180^{\circ}-\angle ADM-\angle DAB=180^{\circ}-\angle ADM-(180^{\circ}-\angle BCD)=180^{\circ}-\beta-(180^{\circ}-2\beta)=\beta.$
Поэтому треугольник $ADM$ - равнобедренный, $AD=AM$, а $\angle DMO=180^{\circ}-\beta$. Значит, точки $D$, $M$, $O$ и $C$ лежат на одной окружности.
Следовательно,
$\angle CMB=\angle CMO=\angle CDO=\alpha,$
$\angle BCM=180^{\circ}-\angle CMB-\angle CBA=180^{\circ}-\alpha-(180^{\circ}-2\alpha)=\alpha.$
Поэтому треугольник $BMC$ - также равнобедренный, $BC=BM$. Следовательно,
$AD+BC=AM+BM=AB,$
откуда $BC=AB-AD=a-b$.
Во вписанном четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB=a$, $AD=b$ ($a\gt b$). Найдите $BC$, если известно, что стороны $BC$, $CD$ и $AD$ касаются некоторой окружности, центр которой находится на стороне $AB$.
Решение:
Пусть $O$ - центр окружности, о которой говорится в условии задачи. Тогда $DO$ и $CO$ - биссектрисы углов при вершинах $D$ и $C$ данного четырёхугольника.
Пусть $\angle D=2\alpha$, $\angle C=2\beta$, $\alpha\gt\beta$. От луча $DA$ в полуплоскость, содержащую точку $O$, отложим луч под углом $\beta$. Поскольку $\beta\lt\alpha$, этот луч проходит между сторонами угла $ADO$, поэтому он пересекает сторону $AB$ в некоторой точке $M$, лежащей между $A$ и $O$,
$\angle AMD=180^{\circ}-\angle ADM-\angle DAB=180^{\circ}-\angle ADM-(180^{\circ}-\angle BCD)=180^{\circ}-\beta-(180^{\circ}-2\beta)=\beta.$
Поэтому треугольник $ADM$ - равнобедренный, $AD=AM$, а $\angle DMO=180^{\circ}-\beta$. Значит, точки $D$, $M$, $O$ и $C$ лежат на одной окружности.
Следовательно,
$\angle CMB=\angle CMO=\angle CDO=\alpha,$
$\angle BCM=180^{\circ}-\angle CMB-\angle CBA=180^{\circ}-\alpha-(180^{\circ}-2\alpha)=\alpha.$
Поэтому треугольник $BMC$ - также равнобедренный, $BC=BM$. Следовательно,
$AD+BC=AM+BM=AB,$
откуда $BC=AB-AD=a-b$.
