Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 410
2014-06-07 
Доказать, что если корнями многочлена $x^{2} + px + 1$ являются числа $\alpha$ и $\beta$, а корнями многочлена $x^{2} + qx + 1$ - числа $\gamma$ и $\delta$, то справедливо равенство
$(\alpha - \gamma)(\beta - \gamma)( \alpha + \delta)(\beta + \delta) = q^{2} – p^{2}$.
Решение:
По теореме Виета имеем равенства
$\alpha + \beta = - p, \alpha \beta = 1, \gamma + \delta = -q, \gamma \delta =1$,
из которых получаем
$(\alpha - \gamma)(\beta - \gamma)(\alpha + \delta)(\beta + \delta) = (\alpha \beta – (\alpha + \beta) \gamma + \gamma^{2})(\alpha \beta + (\alpha + \beta) \delta + \delta^{2}) = (1 + p \gamma + \gamma^{2})(1 – p \delta + \delta^{2}) =$
$=(\gamma^{2} + 1 + \gamma^{2} \delta^{2} + \delta^{2}) + p(\gamma - \delta - \delta \gamma^{2} + \gamma \delta^{2}) – p^{2} \gamma \delta = (\gamma + \delta)^{2} + p(\gamma - \delta)(q - \delta \gamma) – p^{2} = q^{2} – p^{2}$,
что и требовалось доказать.
Доказать, что если корнями многочлена $x^{2} + px + 1$ являются числа $\alpha$ и $\beta$, а корнями многочлена $x^{2} + qx + 1$ - числа $\gamma$ и $\delta$, то справедливо равенство
$(\alpha - \gamma)(\beta - \gamma)( \alpha + \delta)(\beta + \delta) = q^{2} – p^{2}$.
Решение:
По теореме Виета имеем равенства
$\alpha + \beta = - p, \alpha \beta = 1, \gamma + \delta = -q, \gamma \delta =1$,
из которых получаем
$(\alpha - \gamma)(\beta - \gamma)(\alpha + \delta)(\beta + \delta) = (\alpha \beta – (\alpha + \beta) \gamma + \gamma^{2})(\alpha \beta + (\alpha + \beta) \delta + \delta^{2}) = (1 + p \gamma + \gamma^{2})(1 – p \delta + \delta^{2}) =$
$=(\gamma^{2} + 1 + \gamma^{2} \delta^{2} + \delta^{2}) + p(\gamma - \delta - \delta \gamma^{2} + \gamma \delta^{2}) – p^{2} \gamma \delta = (\gamma + \delta)^{2} + p(\gamma - \delta)(q - \delta \gamma) – p^{2} = q^{2} – p^{2}$,
что и требовалось доказать.
