Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 408
2014-06-07 
Доказать, что для корней $x_{1}, x_{2}$ многочлена
$x^{2} + px - \frac{1}{2p^{2}}$, где $p \in \mathbf{R}, p \neq 0$,
выполнено неравенство $x^{2}_{1} + x^{4}_{2} \geq 2 + \sqrt{2}$.
Решение:
Используя теорему Виета ($x_{1} + x_{2} = -p, x_{1}x_{2} = - 1/(2p^{2})$) и неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим двух чисел, получаем
$x_{1}^{4} + x_{2}^{4} = (x_{1} + x_{2})^{4} – 2 x_{1}x_{2} (2 (x_{1}+x_{2})^{2} – x_{1}x_{2}) = p^{4} + \frac{1}{p^{2}} \left ( 2p^{2} + \frac{1}{2p^{2}} \right ) =$
$= p^{4} + 2 + \frac{1}{2p^{4}} \geq 2 + 2 \cdot{p^{4} \cdot \frac{1}{2p^{4}}} = 2 + \sqrt{2}$,
что и требовалось доказать.
Доказать, что для корней $x_{1}, x_{2}$ многочлена
$x^{2} + px - \frac{1}{2p^{2}}$, где $p \in \mathbf{R}, p \neq 0$,
выполнено неравенство $x^{2}_{1} + x^{4}_{2} \geq 2 + \sqrt{2}$.
Решение:
Используя теорему Виета ($x_{1} + x_{2} = -p, x_{1}x_{2} = - 1/(2p^{2})$) и неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим двух чисел, получаем
$x_{1}^{4} + x_{2}^{4} = (x_{1} + x_{2})^{4} – 2 x_{1}x_{2} (2 (x_{1}+x_{2})^{2} – x_{1}x_{2}) = p^{4} + \frac{1}{p^{2}} \left ( 2p^{2} + \frac{1}{2p^{2}} \right ) =$
$= p^{4} + 2 + \frac{1}{2p^{4}} \geq 2 + 2 \cdot{p^{4} \cdot \frac{1}{2p^{4}}} = 2 + \sqrt{2}$,
что и требовалось доказать.
