Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 407
2014-06-07 
Доказать, что если не равная тождественно 0 функция $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ удовлетворяет тождеству
$f(x)f(y) \equiv f(x + y), x, y \in \mathbf{R}$.
и дифференцируема в точке $x = 0$, то она бесконечно дифференцируема в любой точке $x \in \mathbf{R}$.
Решение:
Подставив в исходное тождество для функции $f(x)$ значения $x = y = 0$, получим $f(0)(f(0) - 1) = 0$, т.е. $f(0) = 0$ или $f(0) = 1$. Но если $f(0) = 0$, то из тождества
$f(0)f(x) \equiv f(x) (x \in \mathbf{R})$
следует тождество $f(x) \equiv 0$, противоречащее условию задачи. Итак, $f(0) = 1$. Докажем, что функция $f(x)$ дифференцируема на всей числовой прямой. Действительно, для любого $x \in \mathbf{R}$ имеем
$f(x+y) \equiv f(x)f(y) (y \in \mathbf{R})$,
отсюда
$lim_{y \rightarrow 0} \frac{f(x+y) – f(x)}{y} \equiv f(x) lim_{y \rightarrow 0} \frac{f(y) – f(0)}{y}$.
Значит, предел в левой части последнего тождества существует и равен
$f^{\prime}(x) = f(x)f^{\prime}(0)$.
Пусть $f^{\prime}(0) = a$, тогда $f^{\prime}(x) = af(x)$. Функция $f(x)$ дифференцируема любое число раз. Действительно,
$f^{\prime \prime} = a f^{\prime}(x) = a^{2} f(x), f^{\prime \prime \prime} = a^{2} f^{\prime}(x) = a^{3} f(x)$
и т. д. Таким образом, при любом $n \in \mathbf{N}$ имеем
$f^{(n)}(x) = a^{n} f(x)$.
Доказать, что если не равная тождественно 0 функция $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ удовлетворяет тождеству
$f(x)f(y) \equiv f(x + y), x, y \in \mathbf{R}$.
и дифференцируема в точке $x = 0$, то она бесконечно дифференцируема в любой точке $x \in \mathbf{R}$.
Решение:
Подставив в исходное тождество для функции $f(x)$ значения $x = y = 0$, получим $f(0)(f(0) - 1) = 0$, т.е. $f(0) = 0$ или $f(0) = 1$. Но если $f(0) = 0$, то из тождества
$f(0)f(x) \equiv f(x) (x \in \mathbf{R})$
следует тождество $f(x) \equiv 0$, противоречащее условию задачи. Итак, $f(0) = 1$. Докажем, что функция $f(x)$ дифференцируема на всей числовой прямой. Действительно, для любого $x \in \mathbf{R}$ имеем
$f(x+y) \equiv f(x)f(y) (y \in \mathbf{R})$,
отсюда
$lim_{y \rightarrow 0} \frac{f(x+y) – f(x)}{y} \equiv f(x) lim_{y \rightarrow 0} \frac{f(y) – f(0)}{y}$.
Значит, предел в левой части последнего тождества существует и равен
$f^{\prime}(x) = f(x)f^{\prime}(0)$.
Пусть $f^{\prime}(0) = a$, тогда $f^{\prime}(x) = af(x)$. Функция $f(x)$ дифференцируема любое число раз. Действительно,
$f^{\prime \prime} = a f^{\prime}(x) = a^{2} f(x), f^{\prime \prime \prime} = a^{2} f^{\prime}(x) = a^{3} f(x)$
и т. д. Таким образом, при любом $n \in \mathbf{N}$ имеем
$f^{(n)}(x) = a^{n} f(x)$.
