Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 406
2014-06-07 
Найти все бесконечно дифференцируемые функции $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, удовлетворяющие тождеству
$f(x + y) \equiv f(f) + f(y) + 2xy, x, y \in \mathbf{R}$.
Решение:
Подставив $x = y = 0$ в исходное тождество, получим $f(0) = 2f(0)$, т. е. $f(0) = 0$. Для любого $x \in \mathbf{R}$ из тождества
$f(x+y) – f(x) \equiv f(y) + 2xy (y \in \mathbf{R})$
имеем
$f^{\prime} (x) = lim_{y \rightarrow 0} \frac{f(x+y) – f(x)}{y} = lim_{y \rightarrow 0} \frac{f(y) + 2xy}{y} = 2x + lim_{y \rightarrow 0} \frac{f(y) – f(0)}{y} = 2x + f^{\prime}(0)$,
поэтому искомые функции обязаны удовлетворять условию
$f(x) = f(x) – f(0) = \int_{0}^{x} f^{\prime}(y)dy = x^{2} + f^{\prime}(0)x$.
Заметим, что при любом значении $a \in \mathbf{R}$. Функция $f(x) = x^{2} + ax$ удовлетворяет требуемому в задаче тождеству.
Найти все бесконечно дифференцируемые функции $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, удовлетворяющие тождеству
$f(x + y) \equiv f(f) + f(y) + 2xy, x, y \in \mathbf{R}$.
Решение:
Подставив $x = y = 0$ в исходное тождество, получим $f(0) = 2f(0)$, т. е. $f(0) = 0$. Для любого $x \in \mathbf{R}$ из тождества
$f(x+y) – f(x) \equiv f(y) + 2xy (y \in \mathbf{R})$
имеем
$f^{\prime} (x) = lim_{y \rightarrow 0} \frac{f(x+y) – f(x)}{y} = lim_{y \rightarrow 0} \frac{f(y) + 2xy}{y} = 2x + lim_{y \rightarrow 0} \frac{f(y) – f(0)}{y} = 2x + f^{\prime}(0)$,
поэтому искомые функции обязаны удовлетворять условию
$f(x) = f(x) – f(0) = \int_{0}^{x} f^{\prime}(y)dy = x^{2} + f^{\prime}(0)x$.
Заметим, что при любом значении $a \in \mathbf{R}$. Функция $f(x) = x^{2} + ax$ удовлетворяет требуемому в задаче тождеству.
