ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-07-06   
Докажите, что если биссектрисы углов при вершинах $A$ и $B$ вписанного четырёхугольника $ABCD$ пересекаются на стороне $CD$, то $CD=AD+BC$.


Решение:



Пусть $\angle A=2\alpha$, $\angle B=2\beta$, $\alpha\gt\beta$, а биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $E$, лежащей на стороне $CD$.
От луча $AD$ в полуплоскость, содержащую точку $E$, отложим луч под углом $\beta$. Поскольку $\beta\lt\alpha$, этот луч проходит между сторонами угла $DAE$, поэтому он пересекает сторону $CD$ в некоторой точке $M$, лежащей между $D$ и $E$,

$\angle AMD=180^{\circ}-\angle DAM-\angle ADC=180^{\circ}-\angle DAM-(180^{\circ}-\angle ABC)=180^{\circ}-\beta-(180^{\circ}-2\beta)=\beta.$

Поэтому треугольник $ADM$ - равнобедренный, $AD=DM$, а $\angle AMC=180^{\circ}-\beta$. Значит, точки $A$, $M$, $E$ и $B$ лежат на одной окружности. Тогда

$\angle BMC=\angle BME=\angle BAE=\alpha,~$

$\angle CBM=180^{\circ}-\angle BCM-\angle MBC=180^{\circ}-(180^{\circ}-2\alpha)-\alpha=\alpha,$

поэтому треугольник $BMC$ - также равнобедренный, $BC=MC$. Следовательно,

$AD+BC=DM+MC=DC.$