Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4039
2019-07-06 
Через точку касания двух окружностей проведена секущая. Докажите, что радиусы и касательные, проведённые через концы образовавшихся хорд, параллельны.
Решение:
Первый способ. Рассмотрим случай внешнего касания. Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры окружностей, $M$ - точка касания, $A_{1}$ и $A_{2}$ - соответственно точки пересечения окружностей с секущей. Тогда
$\angle O_{1}A_{1}M=\angle O_{1}MA_{1}=\angle O_{2}MA_{2}=\angle O_{2}A_{2}M.$
Поскольку накрест лежащие углы равны, то прямые $O_{1}A_{1}$ и $O_{2}A_{2}$ параллельны. Следовательно, параллельны и перпендикулярные им касательные.
Аналогично для случая внутреннего касания окружностей.
Второй способ. При гомотетии с центром в точке касания и коэффициентом, равным по модулю отношению радиусов окружностей, одна окружность переходит в другую. При этом точка $A_{1}$ переходит в $A_{2}$, касательная к первой окружности, проведённая в точке $A_{1}$, - в параллельную ей касательную к второй окружности, проведённую в точке $A_{2}$, а радиус $O_{1}A_{1}$ - в параллельный ему радиус $O_{2}A_{2}$.
Через точку касания двух окружностей проведена секущая. Докажите, что радиусы и касательные, проведённые через концы образовавшихся хорд, параллельны.
Решение:
Первый способ. Рассмотрим случай внешнего касания. Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - центры окружностей, $M$ - точка касания, $A_{1}$ и $A_{2}$ - соответственно точки пересечения окружностей с секущей. Тогда
$\angle O_{1}A_{1}M=\angle O_{1}MA_{1}=\angle O_{2}MA_{2}=\angle O_{2}A_{2}M.$
Поскольку накрест лежащие углы равны, то прямые $O_{1}A_{1}$ и $O_{2}A_{2}$ параллельны. Следовательно, параллельны и перпендикулярные им касательные.
Аналогично для случая внутреннего касания окружностей.
Второй способ. При гомотетии с центром в точке касания и коэффициентом, равным по модулю отношению радиусов окружностей, одна окружность переходит в другую. При этом точка $A_{1}$ переходит в $A_{2}$, касательная к первой окружности, проведённая в точке $A_{1}$, - в параллельную ей касательную к второй окружности, проведённую в точке $A_{2}$, а радиус $O_{1}A_{1}$ - в параллельный ему радиус $O_{2}A_{2}$.
