Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4038
2019-07-06 
Три равных окружности $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$ попарно касаются друг друга, и вокруг них описана окружность $S$, которая касается всех трёх. Докажите, что для любой точки $M$ окружности $S$ касательная, проведённая из точки $M$ к одной из трёх окружностей $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$, равна сумме касательных, проведённых из точки $M$ к двум другим окружностям.
Решение:
Пусть $O_{1}$, $O_{2}$, $O_{3}$, $O$ - центры окружностей $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$, $S$ соответственно; $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$ - точки касания окружностей $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$ с окружностью $S$.
Предположим, что точка $M$ лежит на дуге $A_{1}A_{2}$, не содержащей точки $A_{3}$. Обозначим через $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ углы между лучом $OM$ и лучами $OO_{1}$, $OO_{2}$, $OO_{3}$ соответственно. Тогда, если $r$ - радиус каждой из трёх меньших окружностей, а $R$ - радиус большей, то по теореме косинусов
$MO_{1}^{2}=R^{2}+(R-r)^{2}-2R(R-r)\cos\alpha,$
$MO_{2}^{2}=R^{2}+(R-r)^{2}-2R(R-r)\cos\beta,$
$MO_{3}^{2}=R^{2}+(R-r)^{2}-2R(R-r)\cos\gamma.$
Тогда квадраты касательных, проведённых из точки $M$ к окружностям $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$, соответственно равны:
$MO_{1}^{2}-r^{2}=2R(R-r)(1-\cos\alpha)=4R(R-r)\sin^{2}\frac{\alpha}{2},$
$MO_{2}^{2}-r^{2}=2R(R-r)(1-\cos\beta)=4R(R-r)\sin^{2}\frac{\beta}{2},$
$MO_{3}^{2}-r^{2}=2R(R-r)(1-\cos\gamma)=4R(R-r)\sin^{2}\frac{\gamma}{2}.$
Поэтому касательные равны
$2\sqrt{R(R-r)}\sin\frac{\alpha}{2},~2\sqrt{R(R-r)}\sin\frac{\beta}{2},~2\sqrt{R(R-r)}\sin\frac{\gamma}{2}$
(синусы неотрицательны, т.к.
$0\leq\frac{\alpha}{2}\leq180^{\circ},~0\leq\frac{\beta}{2}\leq180^{\circ},~0\leq\frac{\gamma}{2}\leq180^{\circ}).$
Осталось проверить равенство
$\sin\frac{\gamma}{2}=\sin\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\beta}{2}.$
Действительно, рассмотрим равносторонний треугольник $A_{1}A_{2}A_{2}$. Точка $M$ лежит на его описанной окружности, поэтому $MA_{1}+MA_{2}=MA_{3}$, а т.к.
$MA_{1}=2R\sin\frac{\alpha}{2},~MA_{2}=2R\sin\frac{\beta}{2},~MA_{3}=2R\sin\frac{\gamma}{2},~$
то
$2R\sin\frac{\alpha}{2}+2R\sin\frac{\beta}{2}=2R\sin\frac{\gamma}{2}.$
Следовательно,
$\sin\frac{\gamma}{2}=\sin\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\beta}{2}.$
Что и требовалось доказать.
Три равных окружности $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$ попарно касаются друг друга, и вокруг них описана окружность $S$, которая касается всех трёх. Докажите, что для любой точки $M$ окружности $S$ касательная, проведённая из точки $M$ к одной из трёх окружностей $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$, равна сумме касательных, проведённых из точки $M$ к двум другим окружностям.
Решение:
Пусть $O_{1}$, $O_{2}$, $O_{3}$, $O$ - центры окружностей $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$, $S$ соответственно; $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$ - точки касания окружностей $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$ с окружностью $S$.
Предположим, что точка $M$ лежит на дуге $A_{1}A_{2}$, не содержащей точки $A_{3}$. Обозначим через $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ углы между лучом $OM$ и лучами $OO_{1}$, $OO_{2}$, $OO_{3}$ соответственно. Тогда, если $r$ - радиус каждой из трёх меньших окружностей, а $R$ - радиус большей, то по теореме косинусов
$MO_{1}^{2}=R^{2}+(R-r)^{2}-2R(R-r)\cos\alpha,$
$MO_{2}^{2}=R^{2}+(R-r)^{2}-2R(R-r)\cos\beta,$
$MO_{3}^{2}=R^{2}+(R-r)^{2}-2R(R-r)\cos\gamma.$
Тогда квадраты касательных, проведённых из точки $M$ к окружностям $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$, соответственно равны:
$MO_{1}^{2}-r^{2}=2R(R-r)(1-\cos\alpha)=4R(R-r)\sin^{2}\frac{\alpha}{2},$
$MO_{2}^{2}-r^{2}=2R(R-r)(1-\cos\beta)=4R(R-r)\sin^{2}\frac{\beta}{2},$
$MO_{3}^{2}-r^{2}=2R(R-r)(1-\cos\gamma)=4R(R-r)\sin^{2}\frac{\gamma}{2}.$
Поэтому касательные равны
$2\sqrt{R(R-r)}\sin\frac{\alpha}{2},~2\sqrt{R(R-r)}\sin\frac{\beta}{2},~2\sqrt{R(R-r)}\sin\frac{\gamma}{2}$
(синусы неотрицательны, т.к.
$0\leq\frac{\alpha}{2}\leq180^{\circ},~0\leq\frac{\beta}{2}\leq180^{\circ},~0\leq\frac{\gamma}{2}\leq180^{\circ}).$
Осталось проверить равенство
$\sin\frac{\gamma}{2}=\sin\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\beta}{2}.$
Действительно, рассмотрим равносторонний треугольник $A_{1}A_{2}A_{2}$. Точка $M$ лежит на его описанной окружности, поэтому $MA_{1}+MA_{2}=MA_{3}$, а т.к.
$MA_{1}=2R\sin\frac{\alpha}{2},~MA_{2}=2R\sin\frac{\beta}{2},~MA_{3}=2R\sin\frac{\gamma}{2},~$
то
$2R\sin\frac{\alpha}{2}+2R\sin\frac{\beta}{2}=2R\sin\frac{\gamma}{2}.$
Следовательно,
$\sin\frac{\gamma}{2}=\sin\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\beta}{2}.$
Что и требовалось доказать.
