Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 403
2014-06-07 
а) Доказать, «по если непрерывная функция $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ удовлетворяет тождеству
$f(f(f(x))) = x, x \in \mathbf{R}$.
то при любом значении $x \in \mathbf{R}$ справедливо равенство $f(x) = x$.
б) Привести пример (разрывной) функции $g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, удовлетворяющей условиям
$g(x) \not \equiv$ и $g(g(g(x))) \equiv x, x \in \mathbf{R}$.
Решение:
а) Из условия задачи следует, что функция $f(x)$ не принимает никакого значения более чем в одной точке $x \in \mathbf{R}$. Действительно, если и $u = f(x) = f(y)$ для некоторых $x, y \in \mathbf{R}$, то
$x = f^{3}(x) = f^{2}(u) = f^{3}(y) = y$.
Отсюда и из непрерывности функции $f(x)$ следует, что она строго монотонна. В противном случае найдутся числа $x_{1} < x_{2} < x_{3}$, удовлетворяющие неравенствам
$f(x_{1}) < f(x_{2}), f(x_{2}) > f(x_{3})$
или
$f(x_{1}) > f(x_{2}), f(x_{2}) < f(x_{3})$
а значит, некоторое значение $u$, лежащее как между числами $f(x_{1})$ и $f(x_{3})$ так и между числами $f(x_{2})$ и $f(x_{3})$, согласно теореме о промежуточном значении непрерывной функции, будет приниматься функцией $f(x)$ в двух различных точках $x_{4} \in (x_{1}; x_{2})$ и $x_{5} \in (x_{2}; x_{3})$, что невозможно. Итак, функция $f(x)$ либо убывает, либо возрастает на всей числовой прямой. В первом случае функция $f^{2}(x)$ возрастает, а функция $f^{3}(x)$ убывает, поэтому тождество $f^{3}(x) \equiv x$ выполняться не может. Допустим, что $f(x)$ возрастает и $f(x_{0}) \neq x_{0}$ при некотором значении $x_{0} \in \mathbf{R}$. Тогда, если $f(x_{0}) > x_{0}$, то
$f^{2}(x_{0}) > f(x_{0}), f^{3}(x_{0}) > f^{2}(x_{0})$ и $f^{3}(x_{0}) > x_{0}$,
а если $f(x_{0}) < x_{0}$, то
$f^{2}(x_{0}) < f(x_{0}), f^{3}(x_{0}) < f^{2}(x_{0})$ и $f^{3}(x_{0}) < x_{0}$.
В любом случае имеем противоречие с равенством $f^{3}(x_{0}) = x_{0}$. Таким образом, доказано тождество $f(x) \equiv x, x \in \mathbf{R}$.
б) Функция
$g(x) = \begin{cases} x,& \text{если}\: x \not \in \{1; 2; 3 \},\\
2,& \text{если}\: x = 1,\\
3,& \text{если}\: x = 2,\\
1,& \text{если}\: x = 3
\end{cases}$
удовлетворяет всем требованиям задачи.
а) Доказать, «по если непрерывная функция $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ удовлетворяет тождеству
$f(f(f(x))) = x, x \in \mathbf{R}$.
то при любом значении $x \in \mathbf{R}$ справедливо равенство $f(x) = x$.
б) Привести пример (разрывной) функции $g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, удовлетворяющей условиям
$g(x) \not \equiv$ и $g(g(g(x))) \equiv x, x \in \mathbf{R}$.
Решение:
а) Из условия задачи следует, что функция $f(x)$ не принимает никакого значения более чем в одной точке $x \in \mathbf{R}$. Действительно, если и $u = f(x) = f(y)$ для некоторых $x, y \in \mathbf{R}$, то
$x = f^{3}(x) = f^{2}(u) = f^{3}(y) = y$.
Отсюда и из непрерывности функции $f(x)$ следует, что она строго монотонна. В противном случае найдутся числа $x_{1} < x_{2} < x_{3}$, удовлетворяющие неравенствам
$f(x_{1}) < f(x_{2}), f(x_{2}) > f(x_{3})$
или
$f(x_{1}) > f(x_{2}), f(x_{2}) < f(x_{3})$
а значит, некоторое значение $u$, лежащее как между числами $f(x_{1})$ и $f(x_{3})$ так и между числами $f(x_{2})$ и $f(x_{3})$, согласно теореме о промежуточном значении непрерывной функции, будет приниматься функцией $f(x)$ в двух различных точках $x_{4} \in (x_{1}; x_{2})$ и $x_{5} \in (x_{2}; x_{3})$, что невозможно. Итак, функция $f(x)$ либо убывает, либо возрастает на всей числовой прямой. В первом случае функция $f^{2}(x)$ возрастает, а функция $f^{3}(x)$ убывает, поэтому тождество $f^{3}(x) \equiv x$ выполняться не может. Допустим, что $f(x)$ возрастает и $f(x_{0}) \neq x_{0}$ при некотором значении $x_{0} \in \mathbf{R}$. Тогда, если $f(x_{0}) > x_{0}$, то
$f^{2}(x_{0}) > f(x_{0}), f^{3}(x_{0}) > f^{2}(x_{0})$ и $f^{3}(x_{0}) > x_{0}$,
а если $f(x_{0}) < x_{0}$, то
$f^{2}(x_{0}) < f(x_{0}), f^{3}(x_{0}) < f^{2}(x_{0})$ и $f^{3}(x_{0}) < x_{0}$.
В любом случае имеем противоречие с равенством $f^{3}(x_{0}) = x_{0}$. Таким образом, доказано тождество $f(x) \equiv x, x \in \mathbf{R}$.
б) Функция
$g(x) = \begin{cases} x,& \text{если}\: x \not \in \{1; 2; 3 \},\\
2,& \text{если}\: x = 1,\\
3,& \text{если}\: x = 2,\\
1,& \text{если}\: x = 3
\end{cases}$
удовлетворяет всем требованиям задачи.
