Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 402
2014-06-07 
Найти все непрерывные функции $f: (1; + \infty) \rightarrow \mathbf{R}$, удовлетворяющие тождеству
$f(xy) \equiv xf(y) + yf(x), x, y > 1$.
Решение:
Докажем, что для любого значения $k > 0$ справедливо тождество
$f(x^{k}) \equiv kx^{k-1} f(x) (x > 1)$.
Доказательство проведем в три этапа.
1) Пусть $k \in \mathbf{N}$. Если $k = 1$ имеем
$f(x^{1}) \equiv 1 \cdot x^{0} \cdot f(x)$,
а если тождество справедливо для некоторого значения $k \in \mathbf{N}$, то оно справедливо и дли значения $k+1$, так как
$f(x^{k+1}) \equiv f(x^{k}x) \equiv x^{k} f(x) + x f(x^{k}) \equiv x^{k} f(x) + xkx^{k-1}f(x) \equiv (k+1)x^{k}f(x)$.
По принципу математической индукции тождество справедливо для любого $k \in \mathbf{N}$.
2) Пусть $k \in \mathbf{Q}, k > 0$, т. е. $k = p/q$, где $p, q \in \mathbf{N}$. По доказанному в п. 1) имеем два тождества
$f(x^{p}) \equiv px^{p-1}f(x)$,
$f((x^{p/q})^{q}) \equiv q(x^{p/q})^{q-1} f(x^{p/q})$.
Приравнивая правые части этих тождеств, получаем
$f(x^{p/q}) \equiv (p/q) x^{p/q - 1} f(x)$,
т. е. тождество справедливо для любого рационального $k > 0$.
3) Пусть $k \in \mathbf{R}, k > 0$. Тогда выберем такую последовательность положительных рациональных чисел $k_{1}, k_{2}, \cdots ,$ для которой
$lim_{n \rightarrow \infty} k_{n} = k$.
Поскольку функция $f(x)$ непрерывна, то для любого значения $x > 1$ имеем
$f(x^{k}) = lim_{n \rightarrow \infty} f(x^{k_{n}}) = lim_{n \rightarrow \infty}k_{n}x^{k_{n} - 1} f(x) = k x^{k - 1}f(x)$.
Из доказанного тождества легко найти явный вид функции $f(x)$. Действительно, обозначив $t = ln x$, т. е. $x = e^{t}$, получим
$f(x) = f(e^{t}) = te^{t-1}f(e) = (ln x) \cdot \frac{x}{e} f(e)$.
С другой стороны, при любом значении $c \in \mathbf{R}$ функция $f(x) = cx ln x$ удовлетворяет условию задачи.
Найти все непрерывные функции $f: (1; + \infty) \rightarrow \mathbf{R}$, удовлетворяющие тождеству
$f(xy) \equiv xf(y) + yf(x), x, y > 1$.
Решение:
Докажем, что для любого значения $k > 0$ справедливо тождество
$f(x^{k}) \equiv kx^{k-1} f(x) (x > 1)$.
Доказательство проведем в три этапа.
1) Пусть $k \in \mathbf{N}$. Если $k = 1$ имеем
$f(x^{1}) \equiv 1 \cdot x^{0} \cdot f(x)$,
а если тождество справедливо для некоторого значения $k \in \mathbf{N}$, то оно справедливо и дли значения $k+1$, так как
$f(x^{k+1}) \equiv f(x^{k}x) \equiv x^{k} f(x) + x f(x^{k}) \equiv x^{k} f(x) + xkx^{k-1}f(x) \equiv (k+1)x^{k}f(x)$.
По принципу математической индукции тождество справедливо для любого $k \in \mathbf{N}$.
2) Пусть $k \in \mathbf{Q}, k > 0$, т. е. $k = p/q$, где $p, q \in \mathbf{N}$. По доказанному в п. 1) имеем два тождества
$f(x^{p}) \equiv px^{p-1}f(x)$,
$f((x^{p/q})^{q}) \equiv q(x^{p/q})^{q-1} f(x^{p/q})$.
Приравнивая правые части этих тождеств, получаем
$f(x^{p/q}) \equiv (p/q) x^{p/q - 1} f(x)$,
т. е. тождество справедливо для любого рационального $k > 0$.
3) Пусть $k \in \mathbf{R}, k > 0$. Тогда выберем такую последовательность положительных рациональных чисел $k_{1}, k_{2}, \cdots ,$ для которой
$lim_{n \rightarrow \infty} k_{n} = k$.
Поскольку функция $f(x)$ непрерывна, то для любого значения $x > 1$ имеем
$f(x^{k}) = lim_{n \rightarrow \infty} f(x^{k_{n}}) = lim_{n \rightarrow \infty}k_{n}x^{k_{n} - 1} f(x) = k x^{k - 1}f(x)$.
Из доказанного тождества легко найти явный вид функции $f(x)$. Действительно, обозначив $t = ln x$, т. е. $x = e^{t}$, получим
$f(x) = f(e^{t}) = te^{t-1}f(e) = (ln x) \cdot \frac{x}{e} f(e)$.
С другой стороны, при любом значении $c \in \mathbf{R}$ функция $f(x) = cx ln x$ удовлетворяет условию задачи.
