Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 4013
2019-07-04 
Пусть $r$ - радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов прямоугольного треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$. Докажите, что $r=\frac{a+b+c}{2}$.
Решение:
Обозначим вершины треугольника, противолежащие сторонам $a$, $b$, $c$, через $A$, $B$, $C$ ($C$ - вершина прямого угла), а точки касания - через $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ соответственно. Если $O$ - центр данной окружности, то $OA_{1}CB_{1}$ - квадрат со стороной, равной $r$. Поэтому
$CA_{1}=r,~BC_{1}=BA_{1}=r-a,~AC_{1}=AB_{1}=r-b,$
$c=AB=AC_{1}+C_{1}B=2r-a-b.$
Следовательно, $r=\frac{a+b+c}{2}$.
Пусть $r$ - радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов прямоугольного треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$. Докажите, что $r=\frac{a+b+c}{2}$.
Решение:
Обозначим вершины треугольника, противолежащие сторонам $a$, $b$, $c$, через $A$, $B$, $C$ ($C$ - вершина прямого угла), а точки касания - через $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ соответственно. Если $O$ - центр данной окружности, то $OA_{1}CB_{1}$ - квадрат со стороной, равной $r$. Поэтому
$CA_{1}=r,~BC_{1}=BA_{1}=r-a,~AC_{1}=AB_{1}=r-b,$
$c=AB=AC_{1}+C_{1}B=2r-a-b.$
Следовательно, $r=\frac{a+b+c}{2}$.
