ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Доказать, что любая
функция $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, удовлетворяющая одному из тождеств $f(x + y) \equiv f(x) + f(y), x, y \in \mathbf{R}$,
$f(xy + x + y) \equiv f(xy) + f(x) + f(y), x,y mathbf{R}$,
удовлетворяет и другому.


Решение:


Если функция $f(x)$ удовлетворяет первому тождеству, то
$f(xy + x + y) \equiv f(xy) + f(x + y) \equiv f(xy) + f(x) + f(y)$
$(x, y \in \mathbf{R})$, т. е. второе тождество для нее также выполнено. Пусть теперь функция $f(x)$ удовлетворяет второму тождеству. Положив в нем $y = u + v + uv$, получим
$f(x + u + v + xu + xv + uv + xuv) \equiv f(x) + f(u + v + uv) + f(xu + xv + xuv)$,
что можно преобразовать к виду
$f(x + u + v + xu + xv + uv + xuv) \equiv f(x) + f(u) + f(v) + f(uv) + f(xu + xv + xuv)$. (1)
Поменяв местами переменные $x, u$ и в тождестве (1), получим
$f(x + u + v + xu + xv + uv + xuv) \equiv f(x) + f(u) + f(v) + f(xv) + f(xu + uv + xuv)$. (2)
Из тождеств (1) и (2) получаем
$f(uv) + f(xu + xv + xuv) \equiv f(xv) + f(xu + uv + xuv)$. (3)
Положив в тождестве (3) $x = 1$, имеем
$f(uv) + f(u + v + uv) \equiv f(v) + f(u + 2uv)$,
или
$f(uv) + f(u) + f(v) + f(uv) \equiv f(v) + f(u + 2uv)$.
Отсюда
$f(u) + 2f(uv) \equiv f(u + 2uv)$. (4)
Положив в тождестве (4) $u = 0$, получат $f (0) = 3f(0)$, поэтому
$f(0) = 0$. (5)
Положив в тождестве (4) $v = -1$, получаем $f(-u) \equiv f(u) + 2f(-u)$, следовательно,
$f(-u) \equiv -f(u)$. (6)
Положив в тождестве (4) $v = -1/2$, получаем
$f(0) \equiv f(u) + 2f(-u/2)$.
Используя соотношения (5), (6), получаем
$f(u) \equiv 2f(u/2)$ или $f(2u) \equiv 2f(u)$. (7)
Из тождеств (7), (4) имеем $f(u + 2uv) \equiv f(u) + f(2uv)$, и, сделав в последнем уравнении замену $2v = t$, получаем
$f(u + ut) = f(u) + f(ut)$. (8)
Итак, мы приходим к тождеству $f(x + y) \equiv f(x) + f(y)$, так как при $x = 0$ это тождество обращается в равенство (5), а при $x \neq 0$ имеем из тождества (8)
$f(x + y) \equiv f \left ( x + x \cdot \frac{y}{x} \right ) = f(x) + f \left ( x \cdot \frac{y}{x} \right ) \equiv f(x) + f(y)$.