ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Доказать, что если функция $f(x, y)$, определенная на множестве всех пар рациональных чисел и принимающая только положительные значения, удовлетворяет трем тождествам
$f(xy,z) \equiv f(x, z)f(y, z)$,
$f(z, xy) \equiv f(z, x)f(z, y)$,
$f(x, 1 - x) \equiv 1, x,y, z \mathbf{Q}$
то справедливы тождества
$f(x,x) \equiv 1 f(x,- x) \equiv 1, f(x, y) f(y, x) \equiv 1, x, y \in \mathbf{Q}$.


Решение:


Подставляя в первое исходное тождество для функции $f(x, y)$ значения $x = y = 0$ и $x = y = 1$, получаем равенства $f(0, z) = 1$ и $f(1, z) = 1$ соответственно. Далее, подставляя $x = y = - 1$, имеем
$1 = f(1, z) = f(-1, z) f(- 1, z) = (f(-1, z))^{2}$,
следовательно, $f ( -1, z) = 1$. Аналогично из второго исходного тождества получаем равенства $f(z, 0) = f(z, 1) = f(z, -1) = 1$. Отсюда следует, что
$f(0, 0) = 1$ и $f(0, z)f(z, 0) = 1$.
Остается доказать требуемые тождества для ненулевых значений $x$ и $y$. При $x \neq 0$ имеем
$1 = f(1, z) = f(x, z) f(1/x, z)$,
поэтому
$f(x, z) = 1/f(1/x, z)$.
Далее, получаем
$1 = \frac{1}{f(x, 1 - x)} = f \left (1/x, 1 – x \right ) = f \left ( \frac{1}{x}, \frac{1 - x}{x}/х \cdot x \right ) = f(1/x, (1-x)/x) f(1/x, x)$.
Но поскольку
$f(1/x, (1-x)/x) = f (1/x, 1/x - 1) \cdot 1 = f(1/x, 1/x - 1) f(1/x, -1) = f(1/x, 1 – 1/x) = 1$,
то $f(1/x, x) = 1$. Итак, имеем
$1 = f(x, 1) = f(x, 1/x) = f(x, x) = f(x, x) f(x, -1) = f(x, -x)$,
т. е. $f(x, x) = f(x, -x) = 1$. Наконец, при $x \neq 0, y \neq 0$ имеем
$f(x, y) = f(x, y) \cdot f(1/y, y) = f(x/y, y) = f(x/y, y) \cdot f(x/y, x/y) =$
$=f(x/y, x) = f(x/y, x) \cdot f(1/x, x) = f(1/y, x) = 1/f (y, x)$.
Следовательно, $f(x, y) f(y, x) = 1$.