Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3992
2019-07-03 
Докажите, что если четырёхугольник $XYZT$ вписан в окружность и $\frac{XY}{XT}=\frac{ZY}{ZT}$, то касательные к окружности, проведённые в точках $X$ и $Z$, либо параллельны, либо пересекаются на прямой $YT$.
Решение:
Если одна из касательных, например, в точке $X$, параллельна прямой $YT$, то $XY=XT$. Тогда $ZY=ZT$. Следовательно, касательная в точке $Z$ также параллельна $YT$.
Пусть прямая $YT$ пересекает касательную, проведённую к окружности в точке $X$, в точке $P$. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что $\angle PXT=\angle TYX=\angle PYX$, значит, треугольники $PXY$ и $PTX$ подобны по двум углам. Поэтому $\frac{YP}{XP}=\frac{XY}{XT}$ и $\frac{XP}{TP}=\frac{XY}{XT}$. Перемножив эти равенства, получим, что $\frac{YP}{TP}=\left(\frac{XY}{XT}\right)^{2}$.
Пусть прямая $YT$ пересекает касательную, проведённую к окружности в точке $Z$, в точке $Q$. Аналогично докажем, что $\frac{YQ}{TQ}=\left(\frac{XY}{XT}\right)^{2}$, поэтому $\frac{YP}{TP}=\frac{YQ}{TQ}$. Значит, точки $P$ и $Q$ совпадают. Отсюда следует утверждение задачи.
Докажите, что если четырёхугольник $XYZT$ вписан в окружность и $\frac{XY}{XT}=\frac{ZY}{ZT}$, то касательные к окружности, проведённые в точках $X$ и $Z$, либо параллельны, либо пересекаются на прямой $YT$.
Решение:
Если одна из касательных, например, в точке $X$, параллельна прямой $YT$, то $XY=XT$. Тогда $ZY=ZT$. Следовательно, касательная в точке $Z$ также параллельна $YT$.
Пусть прямая $YT$ пересекает касательную, проведённую к окружности в точке $X$, в точке $P$. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что $\angle PXT=\angle TYX=\angle PYX$, значит, треугольники $PXY$ и $PTX$ подобны по двум углам. Поэтому $\frac{YP}{XP}=\frac{XY}{XT}$ и $\frac{XP}{TP}=\frac{XY}{XT}$. Перемножив эти равенства, получим, что $\frac{YP}{TP}=\left(\frac{XY}{XT}\right)^{2}$.
Пусть прямая $YT$ пересекает касательную, проведённую к окружности в точке $Z$, в точке $Q$. Аналогично докажем, что $\frac{YQ}{TQ}=\left(\frac{XY}{XT}\right)^{2}$, поэтому $\frac{YP}{TP}=\frac{YQ}{TQ}$. Значит, точки $P$ и $Q$ совпадают. Отсюда следует утверждение задачи.
