Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3991
2019-07-03 
Около треугольника $ABC$ описана окружность. Касательная к окружности, проходящая через точку $B$, пересекает прямую $AC$ в точке $M$. Найдите отношение $\frac{AM}{MC}$, если $\frac{AB}{BC}=k$.
Решение:
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
$\angle CBM=\angle BAC=\angle BAM,$
поэтому треугольник $ABM$ подобен треугольнику $BCM$, значит, $\frac{BM}{MC}=\frac{AB}{BC}$ и $\frac{AM}{MB}=\frac{AB}{BC}$. Перемножив эти равенства, получим, что
$\frac{BM}{MC}\cdot\frac{AM}{MB}=\left(\frac{AB}{BC}\right)^{2}=k^{2},$
или $\frac{AM}{MC}=k^{2}$.
Около треугольника $ABC$ описана окружность. Касательная к окружности, проходящая через точку $B$, пересекает прямую $AC$ в точке $M$. Найдите отношение $\frac{AM}{MC}$, если $\frac{AB}{BC}=k$.
Решение:
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
$\angle CBM=\angle BAC=\angle BAM,$
поэтому треугольник $ABM$ подобен треугольнику $BCM$, значит, $\frac{BM}{MC}=\frac{AB}{BC}$ и $\frac{AM}{MB}=\frac{AB}{BC}$. Перемножив эти равенства, получим, что
$\frac{BM}{MC}\cdot\frac{AM}{MB}=\left(\frac{AB}{BC}\right)^{2}=k^{2},$
или $\frac{AM}{MC}=k^{2}$.
