Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3981
2019-07-03 
Точка $D$ лежит на биссектрисе угла $ACB$. На луче $CA$ выбрали точки $A_{1}$ и $A_{2}$, а на луче $CB$ - точки $B_{1}$ и $B_{2}$, причём четыре точки $A_{1}$, $C$, $B_{1}$, $D$ лежат на одной окружности и четыре точки $A_{2}$, $C$, $B_{2}$, $D$ также лежат на одной окружности. Докажите, что $A_{1}A_{2}=B_{1}B_{2}$.
Решение:
Пусть $A_{1}$ находится между точками $C$ и $A_{2}$, а $B_{2}$ - между $C$ и $B_{1}$. Треугольники $DA_{1}A_{2}$ и $DB_{1}B_{2}$ равны, т.к.
$DA_{1}=DB_{1},~DA_{2}=DB_{2},$
$\angle A_{1}DA_{2}=\angle B_{2}DA_{2}-\angle A_{1}DB_{2}=180^{\circ}-\angle C-\angle A_{1}DB_{2}=\angle B_{1}DA_{1}-\angle A_{1}DB_{2}=\angle B_{1}DB_{2}.$
Следовательно,
$A_{1}A_{2}=B_{1}B_{2}.$
Точка $D$ лежит на биссектрисе угла $ACB$. На луче $CA$ выбрали точки $A_{1}$ и $A_{2}$, а на луче $CB$ - точки $B_{1}$ и $B_{2}$, причём четыре точки $A_{1}$, $C$, $B_{1}$, $D$ лежат на одной окружности и четыре точки $A_{2}$, $C$, $B_{2}$, $D$ также лежат на одной окружности. Докажите, что $A_{1}A_{2}=B_{1}B_{2}$.
Решение:
Пусть $A_{1}$ находится между точками $C$ и $A_{2}$, а $B_{2}$ - между $C$ и $B_{1}$. Треугольники $DA_{1}A_{2}$ и $DB_{1}B_{2}$ равны, т.к.
$DA_{1}=DB_{1},~DA_{2}=DB_{2},$
$\angle A_{1}DA_{2}=\angle B_{2}DA_{2}-\angle A_{1}DB_{2}=180^{\circ}-\angle C-\angle A_{1}DB_{2}=\angle B_{1}DA_{1}-\angle A_{1}DB_{2}=\angle B_{1}DB_{2}.$
Следовательно,
$A_{1}A_{2}=B_{1}B_{2}.$
