Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 398
2014-06-07 
Для заданного подмножества $S$ множества пар целых чисел назовем функцию $f: S \rightarrow S$ универсальной, если она обратима и дли любой пары $(n; m) \in S$ удовлетворяет условию
$f(n, m) \in \{(n - 1; m); (n + 1; m); n; m - 1); (n; m + 1)\}$.
Доказать, что если существует хотя бы одна универсальная функция, то существует универсальная функция $f(n, m)$, удовлетворяющая тождеству
$f(f(n, m)) \equiv (n; m), (n; m) \in S$.
Решение:
Назовем точку $(n; m) \in S$ четной или нечетной в зависимости от того, является ли сумма $n + m$ четной или нечетной соответственно. Пусть существует универсальная функция $g(n, m)$, тогда функция $g^{-1}(n, m)$ также универсальна. Рассмотрим функцию, заданную следующим образом:
$f(n, m) = \begin{cases} g(n, m), & \text{если точка}\: (n;m) \text{четная,}\\
g^{-1}(n,m),& \text{если точка}\: (n;m) \text{нечетная},
\end{cases}$
при $(n; m) \in S$. Точки $g(n, m)$ и $g^{-1}(n, m)$ имеют противоположную с точкой $(n; m)$ четность, поэтому для любой точки $(n; m) \in S$ получаем
$f^{2}(n, m) = \begin{cases} g^{-1}(g(n, m)) = (n; m), & \text{если точка}\: (n;m) \text{четная,}\\
g(g^{-1}(n,m)) = (n; m),& \text{если точка}\: (n;m) \text{нечетная},
\end{cases}$
Таким образом, доказано тождество
$f^{2}(n, m) \equiv (n; m), (n; m) \in S$,
из которого вытекает обратимость функции $f(n, м)$, а для доказательства универсальности этой функции достаточно теперь вспомнить, что функции $g(n, m)$ и $g^{-1}(n,m)$ универсальны.
Для заданного подмножества $S$ множества пар целых чисел назовем функцию $f: S \rightarrow S$ универсальной, если она обратима и дли любой пары $(n; m) \in S$ удовлетворяет условию
$f(n, m) \in \{(n - 1; m); (n + 1; m); n; m - 1); (n; m + 1)\}$.
Доказать, что если существует хотя бы одна универсальная функция, то существует универсальная функция $f(n, m)$, удовлетворяющая тождеству
$f(f(n, m)) \equiv (n; m), (n; m) \in S$.
Решение:
Назовем точку $(n; m) \in S$ четной или нечетной в зависимости от того, является ли сумма $n + m$ четной или нечетной соответственно. Пусть существует универсальная функция $g(n, m)$, тогда функция $g^{-1}(n, m)$ также универсальна. Рассмотрим функцию, заданную следующим образом:
$f(n, m) = \begin{cases} g(n, m), & \text{если точка}\: (n;m) \text{четная,}\\
g^{-1}(n,m),& \text{если точка}\: (n;m) \text{нечетная},
\end{cases}$
при $(n; m) \in S$. Точки $g(n, m)$ и $g^{-1}(n, m)$ имеют противоположную с точкой $(n; m)$ четность, поэтому для любой точки $(n; m) \in S$ получаем
$f^{2}(n, m) = \begin{cases} g^{-1}(g(n, m)) = (n; m), & \text{если точка}\: (n;m) \text{четная,}\\
g(g^{-1}(n,m)) = (n; m),& \text{если точка}\: (n;m) \text{нечетная},
\end{cases}$
Таким образом, доказано тождество
$f^{2}(n, m) \equiv (n; m), (n; m) \in S$,
из которого вытекает обратимость функции $f(n, м)$, а для доказательства универсальности этой функции достаточно теперь вспомнить, что функции $g(n, m)$ и $g^{-1}(n,m)$ универсальны.
