Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3979
2019-07-03 
Около окружности описан многоугольник. Точки касания его сторон с окружностью служат вершинами второго, вписанного в эту окружность многоугольника. Докажите, что произведение расстояний от произвольной точки $M$ окружности до сторон (или их продолжений) одного многоугольника равно произведению расстояний от этой точки до сторон (или их продолжений) второго.
Решение:
Пусть точка $M$ лежит на любой из двух дуг $PQ$. Тогда расстояние от неё до хорды $PQ$ есть среднее геометрическое расстояний от этой точки до касательных к окружности, проведённых в точках $P$ и $Q$ (см. задачу 3927).
Применим это утверждение к каждой стороне вписанного многоугольника и перемножим почленно полученные равенства.
Около окружности описан многоугольник. Точки касания его сторон с окружностью служат вершинами второго, вписанного в эту окружность многоугольника. Докажите, что произведение расстояний от произвольной точки $M$ окружности до сторон (или их продолжений) одного многоугольника равно произведению расстояний от этой точки до сторон (или их продолжений) второго.
Решение:
Пусть точка $M$ лежит на любой из двух дуг $PQ$. Тогда расстояние от неё до хорды $PQ$ есть среднее геометрическое расстояний от этой точки до касательных к окружности, проведённых в точках $P$ и $Q$ (см. задачу 3927).
Применим это утверждение к каждой стороне вписанного многоугольника и перемножим почленно полученные равенства.
