Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3976
2019-07-03 
Около остроугольного треугольника $ABC$ описана окружность. Касательные к окружности, проведённые в точках $A$ и $C$, пересекают касательную, проведённую в точке $B$, соответственно в точках $M$ и $N$. В треугольнике $ABC$ проведена высота $BP$. Докажите, что $BP$ - биссектриса угла $MPN$.
Решение:
Пусть
$AB=c,~BC=a,~\angle BAC=\alpha,~\angle BCA=\gamma.$
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
$\angle BAM=\angle ABM=\angle ACB=\gamma,~\angle BCN=\angle CBN=\angle BAC=\alpha.$
Тогда
$\angle MAP=\alpha+\gamma=\angle NCP,~AP=c\cos\alpha,~CP=a\cos\gamma,~$
$NC=\frac{a}{2\cos\alpha},~MA=\frac{c}{2\cos\gamma}.$
Поэтому
$\frac{AP}{CP}=\frac{MA}{NC}=\frac{\cos\alpha}{\cos\gamma}.$
Значит, треугольники $AMP$ и $CNP$ подобны. Следовательно,
$\angle APM=\angle CPN,~\angle MPB=\angle NPB.$
Около остроугольного треугольника $ABC$ описана окружность. Касательные к окружности, проведённые в точках $A$ и $C$, пересекают касательную, проведённую в точке $B$, соответственно в точках $M$ и $N$. В треугольнике $ABC$ проведена высота $BP$. Докажите, что $BP$ - биссектриса угла $MPN$.
Решение:
Пусть
$AB=c,~BC=a,~\angle BAC=\alpha,~\angle BCA=\gamma.$
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
$\angle BAM=\angle ABM=\angle ACB=\gamma,~\angle BCN=\angle CBN=\angle BAC=\alpha.$
Тогда
$\angle MAP=\alpha+\gamma=\angle NCP,~AP=c\cos\alpha,~CP=a\cos\gamma,~$
$NC=\frac{a}{2\cos\alpha},~MA=\frac{c}{2\cos\gamma}.$
Поэтому
$\frac{AP}{CP}=\frac{MA}{NC}=\frac{\cos\alpha}{\cos\gamma}.$
Значит, треугольники $AMP$ и $CNP$ подобны. Следовательно,
$\angle APM=\angle CPN,~\angle MPB=\angle NPB.$
