ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-07-03   
Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает описанную около треугольника окружность в точке $K$. Докажите, что проекция отрезка $AK$ на прямую $AB$ равна полусумме сторон $AB$ и $AC$. (Формула Архимеда.)


Решение:



Первый способ. Пусть $AC\geq AB$, $F$ - проекция точки $K$ на прямую $AB$. Отложим на луче $AC$ отрезок $AP$, равный $AB$. Пусть $K_{1}$ - проекция точки $K$ на $AC$. Поскольку $\angle CAK=\angle KAB$ и треугольники $APK$ и $ABK$ равны (по двум сторонам и углу между ними), то $PK=KB=KC$. Поэтому $K_{1}$ - середина $PC$.
Из равенства треугольников $AK_{1}K$ и $AFK$ следует, что $AK_{1}=AF$. Но

$AK_{1}=\frac{AC+AP}{2}=\frac{AC+AB}{2}.$


Второй способ. Пусть $K_{1}$ - проекция точки $K$ на $AC$, $R$ - радиус окружности,

$\angle ACK=\alpha,~\angle BCK=\angle CBK=\angle CAK=BAK=\beta.$

По теореме синусов

$AB=2R\sin\angle ACB=2R\sin(\alpha-\beta),~AK=2R\sin\angle ACK=2R\sin\alpha,$

$AC=2R\sin\angle AKC=2R\sin(180^{\circ}-\alpha-\beta)=2R\sin(\alpha+\beta),$

а т.к.

$AK_{1}=AK\cos\beta=2R\sin\alpha\cos\beta,$

то

$AK_{1}=\frac{AB+AC}{2}~\Leftrightarrow~2R\sin\alpha\cos\beta=\frac{2R\sin(\alpha-\beta)+2R\sin(\alpha+\beta)}{2}~\Leftrightarrow~\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}(\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)).$

Последнее равенство есть известная формула тригонометрии.