Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3974
2019-07-03 
Докажите, что основания высот, середины сторон и середины отрезков от ортоцентра до вершин треугольника лежат на одной окружности (окружность девяти точек). Где расположен центр этой окружности?
Решение:
Первый способ. Пусть $H$ - точка пересечения высот (ортоцентр) треугольника $ABC$; $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ - середины сторон $BC$, $AC$, $BC$ соответственно; $A_{2}$, $B_{2}$, $C_{2}$ - основания высот, проведённых из вершин соответственно $A$, $B$, $C$; $A_{3}$, $B_{3}$, $C_{3}$ - середины отрезков соответственно $AH$, $BH$, $CH$.
Тогда $C_{1}B_{1}$ - серединный перпендикуляр к отрезку $AA_{2}$. Поэтому
$\angle C_{1}A_{2}B_{1}=\angle BAC=\angle C_{1}A_{1}B_{1}.$
Следовательно, точки $A_{2}$, $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ лежат на одной окружности (отрезок $C_{1}B_{1}$ виден из точек $A_{2}$ и $A_{1}$ под одним и тем же углом).
Аналогично докажем, что точки $B_{2}$, $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ лежат на одной (той же) окружности, и точки $C_{2}$, $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ - на той же окружности.
Таким образом, точки $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$, $A_{2}$, $B_{2}$, $C_{2}$ лежат на одной окружности.
Докажем теперь, что этой окружности принадлежат точки $A_{3}$, $B_{3}$, $C_{3}$. Действительно, если углы $B$ и $C$ острые (рис.1), то
$\angle B_{3}A_{1}C_{3}=\angle BHC=180^{\circ}-\angle BAC=180^{\circ}-\angle B_{3}A_{3}C_{3}.$
Если, например, угол $B$ тупой (рис.2), то
$\angle B_{3}A_{1}C_{3}=\angle BHC=\angle BAC=\angle B_{3}A_{3}C_{3}.$
В любом из этих случаев точки $A_{3}$, $B_{3}$, $A_{1}$, $C_{3}$ лежат на одной окружности.
Аналогично докажем, что на этой окружности лежат точки $B_{1}$ и $C_{1}$. Следовательно, эта окружность совпадает с рассмотренной ранее.
Пусть $O$ - центр описанной окружности треугольника $ABC$. Тогда $OA_{1}=\frac{1}{2}AH=HA_{3}$, а т.к. $\angle A_{1}A_{2}A_{3}=90^{\circ}$, то $A_{1}A_{3}$ - диаметр окружности девяти точек.
Пусть $Q$ - точка пересечения диаметра $A_{1}A_{3}$ с отрезком $OH$. Тогда $Q$ - точка пересечения диагоналей $OH$ и $A_{1}A_{3}$ параллелограмма $OA_{1}HA_{3}$. Значит, $Q$ - общая середина отрезка $OH$ и диаметра $A_{1}A_{3}$. Следовательно, центр окружности девяти точек - середина $OH$.
Второй способ. Пусть $AA_{2}$, $BB_{2}$ и $CC_{2}$ - высоты треугольника $ABC$ (рис.3). Поскольку точки, симметричные ортоцентру $H$ треугольника $ABC$ относительно его сторон, лежат на описанной окружности треугольника $ABC$ (см. задачу @H4785), при гомотетии с центром $H$ и коэффициентом $\frac{1}{2}$ описанная окружность треугольника $ABC$ с центром $O$ переходит в описанную окружность треугольника $A_{2}B_{2}C_{2}$. Центр этой окружности - середина отрезка $OH$.
Вершины $A$, $B$ и $C$ при этой гомотетии переходят в середины $A_{3}$, $B_{3}$ и $C_{3}$ отрезков $HA$, $HB$ и $HC$ соответственно, значит, эти точки лежат на описанной окружности треугольника $A_{2}B_{2}C_{2}$.
Наконец, точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ его сторон, лежат на описанной окружности треугольника $ABC$ (см. задачу @H6300), значит, эти точки гомотетичны с коэффициентом $\frac{1}{2}$ и центром $H$ точкам, лежащим на описанной окружности треугольника $ABC$, а следовательно, также лежат на описанной окружности треугольника $A_{2}B_{2}C_{2}$.
Докажите, что основания высот, середины сторон и середины отрезков от ортоцентра до вершин треугольника лежат на одной окружности (окружность девяти точек). Где расположен центр этой окружности?
Решение:
Первый способ. Пусть $H$ - точка пересечения высот (ортоцентр) треугольника $ABC$; $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ - середины сторон $BC$, $AC$, $BC$ соответственно; $A_{2}$, $B_{2}$, $C_{2}$ - основания высот, проведённых из вершин соответственно $A$, $B$, $C$; $A_{3}$, $B_{3}$, $C_{3}$ - середины отрезков соответственно $AH$, $BH$, $CH$.
Тогда $C_{1}B_{1}$ - серединный перпендикуляр к отрезку $AA_{2}$. Поэтому
$\angle C_{1}A_{2}B_{1}=\angle BAC=\angle C_{1}A_{1}B_{1}.$
Следовательно, точки $A_{2}$, $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ лежат на одной окружности (отрезок $C_{1}B_{1}$ виден из точек $A_{2}$ и $A_{1}$ под одним и тем же углом).
Аналогично докажем, что точки $B_{2}$, $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ лежат на одной (той же) окружности, и точки $C_{2}$, $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ - на той же окружности.
Таким образом, точки $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$, $A_{2}$, $B_{2}$, $C_{2}$ лежат на одной окружности.
Докажем теперь, что этой окружности принадлежат точки $A_{3}$, $B_{3}$, $C_{3}$. Действительно, если углы $B$ и $C$ острые (рис.1), то
$\angle B_{3}A_{1}C_{3}=\angle BHC=180^{\circ}-\angle BAC=180^{\circ}-\angle B_{3}A_{3}C_{3}.$
Если, например, угол $B$ тупой (рис.2), то
$\angle B_{3}A_{1}C_{3}=\angle BHC=\angle BAC=\angle B_{3}A_{3}C_{3}.$
В любом из этих случаев точки $A_{3}$, $B_{3}$, $A_{1}$, $C_{3}$ лежат на одной окружности.
Аналогично докажем, что на этой окружности лежат точки $B_{1}$ и $C_{1}$. Следовательно, эта окружность совпадает с рассмотренной ранее.
Пусть $O$ - центр описанной окружности треугольника $ABC$. Тогда $OA_{1}=\frac{1}{2}AH=HA_{3}$, а т.к. $\angle A_{1}A_{2}A_{3}=90^{\circ}$, то $A_{1}A_{3}$ - диаметр окружности девяти точек.
Пусть $Q$ - точка пересечения диаметра $A_{1}A_{3}$ с отрезком $OH$. Тогда $Q$ - точка пересечения диагоналей $OH$ и $A_{1}A_{3}$ параллелограмма $OA_{1}HA_{3}$. Значит, $Q$ - общая середина отрезка $OH$ и диаметра $A_{1}A_{3}$. Следовательно, центр окружности девяти точек - середина $OH$.
Второй способ. Пусть $AA_{2}$, $BB_{2}$ и $CC_{2}$ - высоты треугольника $ABC$ (рис.3). Поскольку точки, симметричные ортоцентру $H$ треугольника $ABC$ относительно его сторон, лежат на описанной окружности треугольника $ABC$ (см. задачу @H4785), при гомотетии с центром $H$ и коэффициентом $\frac{1}{2}$ описанная окружность треугольника $ABC$ с центром $O$ переходит в описанную окружность треугольника $A_{2}B_{2}C_{2}$. Центр этой окружности - середина отрезка $OH$.
Вершины $A$, $B$ и $C$ при этой гомотетии переходят в середины $A_{3}$, $B_{3}$ и $C_{3}$ отрезков $HA$, $HB$ и $HC$ соответственно, значит, эти точки лежат на описанной окружности треугольника $A_{2}B_{2}C_{2}$.
Наконец, точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ его сторон, лежат на описанной окружности треугольника $ABC$ (см. задачу @H6300), значит, эти точки гомотетичны с коэффициентом $\frac{1}{2}$ и центром $H$ точкам, лежащим на описанной окружности треугольника $ABC$, а следовательно, также лежат на описанной окружности треугольника $A_{2}B_{2}C_{2}$.
