Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3973
2019-07-03 
Докажите, что в любом треугольнике $ABC$ середина стороны $BC$ лежит на отрезке, соединяющем точку пересечения высот с точкой окружности, описанной около этого треугольника, диаметрально противоположной вершине $A$, и делит этот отрезок пополам.
Решение:
Пусть $AA_{1}$ - диаметр описанной окружности, $H$ - точка пересечения высот треугольника $ABC$. Тогда
$A_{1}C\parallel BH,~A_{1}B\parallel CH,$
поэтому четырёхугольник $HBA_{1}C$ - параллелограмм. Следовательно, середина его диагонали $BC$ лежит на диагонали $HA_{1}$ и делит её пополам.
Докажите, что в любом треугольнике $ABC$ середина стороны $BC$ лежит на отрезке, соединяющем точку пересечения высот с точкой окружности, описанной около этого треугольника, диаметрально противоположной вершине $A$, и делит этот отрезок пополам.
Решение:
Пусть $AA_{1}$ - диаметр описанной окружности, $H$ - точка пересечения высот треугольника $ABC$. Тогда
$A_{1}C\parallel BH,~A_{1}B\parallel CH,$
поэтому четырёхугольник $HBA_{1}C$ - параллелограмм. Следовательно, середина его диагонали $BC$ лежит на диагонали $HA_{1}$ и делит её пополам.
