Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3972
2019-07-03 
Отрезок $KL$ является диаметром некоторой окружности. Через его концы $K$ и $L$ проведены две прямые, пересекающие окружность соответственно в точках $P$ и $Q$, лежащих по одну сторону от прямой $KL$. Найдите радиус окружности, если $\angle PKL=60^{\circ}$ и точка пересечения прямых $KP$ и $QL$ удалена от точек $P$ и $Q$ на расстояние 1.
Решение:
Пусть $M$ - точка пересечения прямых $KP$ и $LQ$. Точка $M$ не может лежать на окружности. Если $M$ расположена внутри круга, то $KM\cdot MP=LM\cdot MQ$. Поэтому $KM=ML$, что невозможно.
Если точка $M$ расположена вне круга, то $MP\cdot MK=MQ\cdot ML$. Поэтому $KM=ML$. Тогда треугольник $KML$ - равносторонний. Его высота $KQ$ является медианой. Следовательно,
$KL=ML=2MQ=2,$
а искомый радиус равен 1.
Отрезок $KL$ является диаметром некоторой окружности. Через его концы $K$ и $L$ проведены две прямые, пересекающие окружность соответственно в точках $P$ и $Q$, лежащих по одну сторону от прямой $KL$. Найдите радиус окружности, если $\angle PKL=60^{\circ}$ и точка пересечения прямых $KP$ и $QL$ удалена от точек $P$ и $Q$ на расстояние 1.
Решение:
Пусть $M$ - точка пересечения прямых $KP$ и $LQ$. Точка $M$ не может лежать на окружности. Если $M$ расположена внутри круга, то $KM\cdot MP=LM\cdot MQ$. Поэтому $KM=ML$, что невозможно.
Если точка $M$ расположена вне круга, то $MP\cdot MK=MQ\cdot ML$. Поэтому $KM=ML$. Тогда треугольник $KML$ - равносторонний. Его высота $KQ$ является медианой. Следовательно,
$KL=ML=2MQ=2,$
а искомый радиус равен 1.
