ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-07-03   
Докажите, что если для вписанного четырёхугольника $ABCD$ выполнено равенство $CD=AD+BC$, то биссектрисы его углов $A$ и $B$ пересекаются на стороне $CD$.


Решение:



Обозначим $\angle A=2\alpha$, $\angle B=2\beta$. Предположим, что $\alpha\lt\beta$. Отложим на отрезке $CD$ отрезок $CP$, равный $BC$. Тогда $DP=AD$, треугольники $BCP$ и $APD$ - равнобедренные,

$\angle D=180^{\circ}-2\beta,~\angle PAD=\angle DPA=\beta,$

$\angle C=180^{\circ}-2\alpha,~\angle CBP=\angle CPB=\alpha.$


Пусть $AM$ - биссектриса угла $BAD$ ($M$ на стороне $CD$). Поскольку $\angle MAD=\alpha\lt\beta=\angle PAD$, то точка $M$ лежит между точками $P$ и $D$,

$\angle PMA=180^{\circ}-2\beta+\alpha,~\angle PBA=2\beta-\alpha.$

Поэтому

$\angle PMA+\angle PBA=180^{\circ}.$

Тогда точки $P$, $M$, $A$, $B$ лежат на одной окружности. Значит,

$\angle PBM=\angle PAM=\beta-\alpha.$

Следовательно,

$\angle CBM=\angle CBP+\angle PBM=\alpha+\beta-\alpha=\beta=\frac{1}{2}\angle CBA,$

т.е. $BM$ - биссектриса угла $CBA$.