Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3970
2019-07-03 
Докажите, что для любого треугольника проекция диаметра описанной окружности, перпендикулярного одной стороне треугольника, на прямую, содержащую вторую сторону, равна третьей стороне.
Решение:
Первый способ. Пусть $DE$ - диаметр описанной окружности, перпендикулярный стороне $AC$ треугольника $ABC$, $R$ - радиус этой окружности, $LK$ - проекция диаметра $DE$ на прямую $BC$ ($L$ - проекция точки $D$, $K$ - точки $E$). Тогда
$LK=DE\sin\angle DEK=2R\sin\angle DEK=2R\sin\angle BCA=AB.$
Второй способ. Продлим отрезок $KE$ до пересечения с окружностью в точке $M$. Тогда $DMKL$ - прямоугольник. На хорду $DM$ опирается угол $DEM$, равный $ACB$ (углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Вписанный угол $ACB$ опирается на хорду $AB$, следовательно, $KL=DM=AB$.
Докажите, что для любого треугольника проекция диаметра описанной окружности, перпендикулярного одной стороне треугольника, на прямую, содержащую вторую сторону, равна третьей стороне.
Решение:
Первый способ. Пусть $DE$ - диаметр описанной окружности, перпендикулярный стороне $AC$ треугольника $ABC$, $R$ - радиус этой окружности, $LK$ - проекция диаметра $DE$ на прямую $BC$ ($L$ - проекция точки $D$, $K$ - точки $E$). Тогда
$LK=DE\sin\angle DEK=2R\sin\angle DEK=2R\sin\angle BCA=AB.$
Второй способ. Продлим отрезок $KE$ до пересечения с окружностью в точке $M$. Тогда $DMKL$ - прямоугольник. На хорду $DM$ опирается угол $DEM$, равный $ACB$ (углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Вписанный угол $ACB$ опирается на хорду $AB$, следовательно, $KL=DM=AB$.
