Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3969
2019-07-03 
Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то середины его сторон и основания перпендикуляров, опущенных из точки пересечения его диагоналей на стороны, лежат на одной окружности.
Решение:
Пусть $E$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ данного четырёхугольника $ABCD$, $M$ - проекция точки $E$ на сторону $CD$. Докажем, что точка $K$ пересечения прямой $ME$ со стороной $AB$ есть середина стороны $AB$.
Действительно,
$\angle KEB=\angle DEM=90^{\circ}-\angle BDC=90^{\circ}-\angle BAC=\angle KBE.$
Поэтому треугольник $BKE$ - равнобедренный, $KE=KB$. Аналогично докажем, что $KE=KA$. Следовательно, $K$ - середина $AB$.
Середины сторон данного четырёхугольника являются вершинами прямоугольника (см. задачу @H1204). Опишем окружность около этого прямоугольника. Тогда из точек пересечения этой окружности со сторонами данного четырёхугольника, отличных от середин сторон, диаметр проведённой окружности (диагональ прямоугольника) виден под прямым углом.
С другой стороны, по ранее доказанному, перпендикуляр, опущенный из середины стороны данного четырёхугольника на противоположную сторону, проходит через точку пересечения диагоналей. Следовательно, проекции точки $E$ на стороны данного четырёхугольника лежат на описанной окружности рассматриваемого прямоугольника.
Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то середины его сторон и основания перпендикуляров, опущенных из точки пересечения его диагоналей на стороны, лежат на одной окружности.
Решение:
Пусть $E$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ данного четырёхугольника $ABCD$, $M$ - проекция точки $E$ на сторону $CD$. Докажем, что точка $K$ пересечения прямой $ME$ со стороной $AB$ есть середина стороны $AB$.
Действительно,
$\angle KEB=\angle DEM=90^{\circ}-\angle BDC=90^{\circ}-\angle BAC=\angle KBE.$
Поэтому треугольник $BKE$ - равнобедренный, $KE=KB$. Аналогично докажем, что $KE=KA$. Следовательно, $K$ - середина $AB$.
Середины сторон данного четырёхугольника являются вершинами прямоугольника (см. задачу @H1204). Опишем окружность около этого прямоугольника. Тогда из точек пересечения этой окружности со сторонами данного четырёхугольника, отличных от середин сторон, диаметр проведённой окружности (диагональ прямоугольника) виден под прямым углом.
С другой стороны, по ранее доказанному, перпендикуляр, опущенный из середины стороны данного четырёхугольника на противоположную сторону, проходит через точку пересечения диагоналей. Следовательно, проекции точки $E$ на стороны данного четырёхугольника лежат на описанной окружности рассматриваемого прямоугольника.
