Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3967
2019-07-03 
Точка $E$ лежит на стороне $AC$ правильного треугольника $ABC$; точка $K$ - середина отрезка $AE$. Прямая, проходящая через точку $E$ перпендикулярно прямой $AB$, и прямая, проходящая через точку $C$ перпендикулярно прямой $BC$, пересекаются в точке $D$. Найдите углы треугольника $BKD$.
Решение:
Пусть $F$ - основание перпендикуляра, опущенного из точки $E$ на $AB$. Тогда $FK$ - медиана прямоугольного треугольника $AFE$. Поэтому $\angle AKF=60^{\circ}$ и $FK\parallel BC$.
Опишем окружность около равнобедренной трапеции $BFKC$. Точка $D$ принадлежит этой окружности, т.к. $\angle BFD+\angle BCD=180^{\circ}$; $BD$ - диаметр этой окружности, т.к. $\angle BCD=90^{\circ}$. Следовательно,
$\angle BKD=90^{\circ},~\angle BDK=\angle BCK=60^{\circ},~\angle KBD=30^{\circ}.$
Точка $E$ лежит на стороне $AC$ правильного треугольника $ABC$; точка $K$ - середина отрезка $AE$. Прямая, проходящая через точку $E$ перпендикулярно прямой $AB$, и прямая, проходящая через точку $C$ перпендикулярно прямой $BC$, пересекаются в точке $D$. Найдите углы треугольника $BKD$.
Решение:
Пусть $F$ - основание перпендикуляра, опущенного из точки $E$ на $AB$. Тогда $FK$ - медиана прямоугольного треугольника $AFE$. Поэтому $\angle AKF=60^{\circ}$ и $FK\parallel BC$.
Опишем окружность около равнобедренной трапеции $BFKC$. Точка $D$ принадлежит этой окружности, т.к. $\angle BFD+\angle BCD=180^{\circ}$; $BD$ - диаметр этой окружности, т.к. $\angle BCD=90^{\circ}$. Следовательно,
$\angle BKD=90^{\circ},~\angle BDK=\angle BCK=60^{\circ},~\angle KBD=30^{\circ}.$
