Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3966
2019-07-03 
Диагонали выпуклого четырёхугольника взаимно перпендикулярны. Докажите, что четыре проекции точки пересечения диагоналей на стороны четырёхугольника лежат на одной окружности.
Решение:
Пусть $O$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$; $M$, $N$, $P$, $Q$ - проекции точки $O$ на $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$. Тогда
$\angle QMO+\angle QPO=\angle QAO+\angle QDO=90^{\circ}$
(т.к. точки $M$ и $Q$ лежат на окружности с диаметром $AO$, а точки $P$ и $Q$ - на окружности с диаметром $OD$). Аналогично $\angle OMN+\angle OPN=90^{\circ}$. Поэтому
$\angle QPN+\angle QMN=180^{\circ}.$
Следовательно, четырёхугольник $MNPQ$ - вписанный.
Диагонали выпуклого четырёхугольника взаимно перпендикулярны. Докажите, что четыре проекции точки пересечения диагоналей на стороны четырёхугольника лежат на одной окружности.
Решение:
Пусть $O$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$; $M$, $N$, $P$, $Q$ - проекции точки $O$ на $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$. Тогда
$\angle QMO+\angle QPO=\angle QAO+\angle QDO=90^{\circ}$
(т.к. точки $M$ и $Q$ лежат на окружности с диаметром $AO$, а точки $P$ и $Q$ - на окружности с диаметром $OD$). Аналогично $\angle OMN+\angle OPN=90^{\circ}$. Поэтому
$\angle QPN+\angle QMN=180^{\circ}.$
Следовательно, четырёхугольник $MNPQ$ - вписанный.
