Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3965
2019-07-03 
Из точки вне окружности проведены касательные и секущая, причём точки касания и точки пересечения секущей с окружностью являются вершинами некоторой трапеции. Найдите отношение оснований трапеции, если известно, что угол между касательными равен $60^{\circ}$.
Решение:
Пусть $S$ - данная точка, $SBD$ - секущая, $SA$ и $SC$ - касательные, $AB\parallel DC$. Обозначим $AB=x$, $CD=y$.
Из подобия треугольников $SBC$ и $SCD$ (по двум углам) следует, что $\frac{BC}{DC}=\frac{SB}{CS}$, а из подобия треугольников $SBA$ и $SAD$ - $\frac{AB}{AD}=\frac{SB}{AS}$.
Поскольку $CS=AS$, то $\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DC}$, или $AB\cdot DC=xy=BC^{2}$. Отсюда находим, что $BC=\sqrt{xy}$. Кроме того,
$\angle BCD=\angle ADC=60^{\circ}.$
Если $P$ - проекция точки $B$ на основание $CD$ трапеции $ABCD$, то $PC=\frac{y-x}{2}$. В треугольнике $BPC$ имеем:
$PC=\frac{1}{2}BC,~\mbox{или}~\frac{y-x}{2}=\frac{\sqrt{xy}}{2},~\mbox{или}~\frac{x}{y}+\sqrt{\frac{x}{y}}-1=0.$
Из этого уравнения находим, что
$\frac{x}{y}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}.$
Из точки вне окружности проведены касательные и секущая, причём точки касания и точки пересечения секущей с окружностью являются вершинами некоторой трапеции. Найдите отношение оснований трапеции, если известно, что угол между касательными равен $60^{\circ}$.
Решение:
Пусть $S$ - данная точка, $SBD$ - секущая, $SA$ и $SC$ - касательные, $AB\parallel DC$. Обозначим $AB=x$, $CD=y$.
Из подобия треугольников $SBC$ и $SCD$ (по двум углам) следует, что $\frac{BC}{DC}=\frac{SB}{CS}$, а из подобия треугольников $SBA$ и $SAD$ - $\frac{AB}{AD}=\frac{SB}{AS}$.
Поскольку $CS=AS$, то $\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DC}$, или $AB\cdot DC=xy=BC^{2}$. Отсюда находим, что $BC=\sqrt{xy}$. Кроме того,
$\angle BCD=\angle ADC=60^{\circ}.$
Если $P$ - проекция точки $B$ на основание $CD$ трапеции $ABCD$, то $PC=\frac{y-x}{2}$. В треугольнике $BPC$ имеем:
$PC=\frac{1}{2}BC,~\mbox{или}~\frac{y-x}{2}=\frac{\sqrt{xy}}{2},~\mbox{или}~\frac{x}{y}+\sqrt{\frac{x}{y}}-1=0.$
Из этого уравнения находим, что
$\frac{x}{y}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}.$
