Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3963
2019-07-03 
Дан вписанный четырёхугольник $ABCD$. Противоположные стороны $AB$ и $CD$ при продолжении пересекаются в точке $K$, стороны $BC$ и $AD$ - в точке $L$. Докажите, что биссектрисы углов $BKC$ и $BLA$ пересекаются на прямой, проходящей через середины $AC$ и $BD$.
Решение:
Пусть $M$ и $N$ - середины $AC$ и $BD$ соответственно. Треугольники $AKC$ и $DBK$ подобны по двум углам, $MK$ и $KN$ - их медианы. Поэтому
$\frac{MK}{KN}=\frac{AC}{BD},~\angle AKM=\angle DKN.$
Значит, биссектриса угла $AKD$ является биссектрисой угла $MKN$. Следовательно, она делит сторону $MN$ треугольника $KMN$ в отношении $\frac{MK}{KN}=\frac{AC}{DB}$.
Аналогично для биссектрисы угла $BLA$. Следовательно, обе биссектрисы проходят через одну и ту же точку отрезка $MN$.
Дан вписанный четырёхугольник $ABCD$. Противоположные стороны $AB$ и $CD$ при продолжении пересекаются в точке $K$, стороны $BC$ и $AD$ - в точке $L$. Докажите, что биссектрисы углов $BKC$ и $BLA$ пересекаются на прямой, проходящей через середины $AC$ и $BD$.
Решение:
Пусть $M$ и $N$ - середины $AC$ и $BD$ соответственно. Треугольники $AKC$ и $DBK$ подобны по двум углам, $MK$ и $KN$ - их медианы. Поэтому
$\frac{MK}{KN}=\frac{AC}{BD},~\angle AKM=\angle DKN.$
Значит, биссектриса угла $AKD$ является биссектрисой угла $MKN$. Следовательно, она делит сторону $MN$ треугольника $KMN$ в отношении $\frac{MK}{KN}=\frac{AC}{DB}$.
Аналогично для биссектрисы угла $BLA$. Следовательно, обе биссектрисы проходят через одну и ту же точку отрезка $MN$.
