Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3962
2019-07-03 
Дан вписанный четырёхугольник $ABCD$. Продолжения противоположных сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$, сторон $BC$ и $AD$ - в точке $L$. Докажите, что биссектрисы углов $BKC$ и $BLA$ перпендикулярны.
Решение:
Пусть биссектриса угла $BKC$ пересекает окружность в точках $P$ и $R$, а биссектриса угла $BLA$ - в точках $Q$ и $M$ (см. рис.). Тогда
$\breve{AM} - \breve{DQ} = \breve{MB} - \breve{QC},~ \breve{DR} - \breve{CP} = \breve{AR} -\breve{BP} ,$
или
$\breve{AM} + \breve{QC} = \breve{BM} + \breve{DQ}, ~ \breve{AR} + \breve{CP} = \breve{DR} + \breve{BP}.$
Сложив почленно последние два равенства, получим
$\breve{AR} +\breve{AM} + \breve{CP} + \breve{QC} = \breve{BM} + \breve{BP} + \breve{DR} + \breve{DQ}.$
Значит, каждая из этих сумм равна $180^{\circ}$. Следовательно, угол между хордами $PR$ и $MQ$ равен $90^{\circ}$.
Дан вписанный четырёхугольник $ABCD$. Продолжения противоположных сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$, сторон $BC$ и $AD$ - в точке $L$. Докажите, что биссектрисы углов $BKC$ и $BLA$ перпендикулярны.
Решение:
Пусть биссектриса угла $BKC$ пересекает окружность в точках $P$ и $R$, а биссектриса угла $BLA$ - в точках $Q$ и $M$ (см. рис.). Тогда
$\breve{AM} - \breve{DQ} = \breve{MB} - \breve{QC},~ \breve{DR} - \breve{CP} = \breve{AR} -\breve{BP} ,$
или
$\breve{AM} + \breve{QC} = \breve{BM} + \breve{DQ}, ~ \breve{AR} + \breve{CP} = \breve{DR} + \breve{BP}.$
Сложив почленно последние два равенства, получим
$\breve{AR} +\breve{AM} + \breve{CP} + \breve{QC} = \breve{BM} + \breve{BP} + \breve{DR} + \breve{DQ}.$
Значит, каждая из этих сумм равна $180^{\circ}$. Следовательно, угол между хордами $PR$ и $MQ$ равен $90^{\circ}$.
