Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3961
2019-07-03 
В треугольнике $ABC$ биссектрисы $BP$ и $CT$ пересекаются в точке $O$. Известно, что точки $A$, $P$, $O$ и $T$ лежат на одной окружности. Найдите угол $A$.
Решение:
Заметим, что
$\angle POT=\angle BOC=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle B+\angle C)=180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A.$
Поскольку четырёхугольник $APOT$ вписанный, то
$\angle A+\angle POT=180^{\circ}.$
Следовательно,
$\angle A+90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A=180^{\circ}.$
Отсюда находим, что $\angle A=60^{\circ}$.
В треугольнике $ABC$ биссектрисы $BP$ и $CT$ пересекаются в точке $O$. Известно, что точки $A$, $P$, $O$ и $T$ лежат на одной окружности. Найдите угол $A$.
Решение:
Заметим, что
$\angle POT=\angle BOC=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle B+\angle C)=180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A.$
Поскольку четырёхугольник $APOT$ вписанный, то
$\angle A+\angle POT=180^{\circ}.$
Следовательно,
$\angle A+90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A=180^{\circ}.$
Отсюда находим, что $\angle A=60^{\circ}$.
