Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3958
2019-07-03 
Через точку $O$ внутри выпуклого четырёхугольника $ABCD$ проведены четыре окружности одинакового радиуса, каждая из которых касается двух смежных сторон четырёхугольника. Докажите, что около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.
Решение:
Пусть $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$, $D_{1}$ - центры окружностей. Эти точки лежат на окружности с центром $O$ и радиусом $OA_{1}$. Стороны четырёхугольника $ABCD$ соответственно параллельны сторонам внутреннего четырёхугольника $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. Поэтому углы этих четырёхугольников соответственно равны.
Поскольку четырёхугольник $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ - вписанный, то сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$. Тогда сумма противоположных углов четырёхугольника $ABCD$ также равна $180^{\circ}$. Следовательно, он вписанный.
Через точку $O$ внутри выпуклого четырёхугольника $ABCD$ проведены четыре окружности одинакового радиуса, каждая из которых касается двух смежных сторон четырёхугольника. Докажите, что около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.
Решение:
Пусть $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$, $D_{1}$ - центры окружностей. Эти точки лежат на окружности с центром $O$ и радиусом $OA_{1}$. Стороны четырёхугольника $ABCD$ соответственно параллельны сторонам внутреннего четырёхугольника $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. Поэтому углы этих четырёхугольников соответственно равны.
Поскольку четырёхугольник $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ - вписанный, то сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$. Тогда сумма противоположных углов четырёхугольника $ABCD$ также равна $180^{\circ}$. Следовательно, он вписанный.
