Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3957
2019-07-03 
Задача Архимеда. В дугу $AB$ окружности вписана ломаная $AMB$ из двух отрезков $(AM\gt MB)$. Докажите, что основание перпендикуляра $KH$, опущенного из середины $K$ дуги $AB$ на отрезок $AM$, делит ломаную пополам, т.е. $AH=HM+MB$.
Решение:
Первый способ. Отложим на продолжении отрезка $AM$ за точку $M$ отрезок $MB_{1}$, равный $MB$ (рис.1). Пусть прямая $KM$ пересекает отрезок $BB_{1}$ в точке $P$. Тогда
$\angle BMB_{1}=\angle MAB+\angle MBA=\frac{\breve{ MB}+\breve{MA}}{2}=\frac{\breve{AKB}}{2}=\breve{AK}=2\angle KMA=2\angle B_{1}MP.$
Поэтому прямая $KP$ делит угол $BMB_{1}$ равнобедренного треугольника $BMB_{1}$ пополам. Тогда $KP$ - серединный перпендикуляр к отрезку $BB_{1}$. Следовательно, $KB_{1}=KB=AK$. В равнобедренном треугольнике $AKB_{1}$ высота $KH$ является медианой, поэтому
$AH=HB_{1}=HM+MB_{1}=HM+MB.$
Второй способ. Отметим на отрезке $AM$ такую точку $B_{2}$, что $AB_{2}=MB$ (пусть $B_{2}$ лежит между точками $A$ и $H$, рис.2). Так как точки $A$ и $B$ лежат на окружности по одну сторону от хорды $KM$, то $\angle KAM=\angle KBM$. Кроме того, $AK=KB$, поэтому треугольники $KAB_{2}$ и $KBM$ равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, $KB_{2}=KM$ и треугольник $B_{2}KM$ - равнобедренный. Его высота $KH$ является медианой, поэтому $H$ - середина $B_{2}M$. Следовательно,
$AH=AB_{2}+B_{2}H=HM+MB.$
Третий способ. Рассмотрим случай, изображённый на рис.3. Пусть луч $KH$ пересекает окружность в точке $L$, лежащей на дуге $AB$, на содержащей точки $K$, а прямые $AM$ и $LB$ пересекаются в точке $B_{1}$. Вписанные углы $\angle ALK$ и $\angle BLK$ равны, т.к. каждый из них опирается на половину дуги $AKB$. Высота $LH$ треугольника $ALB_{1}$ является его биссектрисой, поэтому треугольник $ALB_{1}$ - равнобедренный. Значит,
$AH=HB_{1}~\mbox{и}~\angle MBB_{1}=180^{\circ}-\angle MBL=\angle MAL=\angle MB_{1}B.$
Поэтому треугольник $MB_{1}B$ - также равнобедренный и $MB=MB_{1}$. Следовательно,
$AH=HB_{1}=HM+MB_{1}=HM+MB.$
Аналогично для любого другого случая.
Задача Архимеда. В дугу $AB$ окружности вписана ломаная $AMB$ из двух отрезков $(AM\gt MB)$. Докажите, что основание перпендикуляра $KH$, опущенного из середины $K$ дуги $AB$ на отрезок $AM$, делит ломаную пополам, т.е. $AH=HM+MB$.
Решение:
Первый способ. Отложим на продолжении отрезка $AM$ за точку $M$ отрезок $MB_{1}$, равный $MB$ (рис.1). Пусть прямая $KM$ пересекает отрезок $BB_{1}$ в точке $P$. Тогда
$\angle BMB_{1}=\angle MAB+\angle MBA=\frac{\breve{ MB}+\breve{MA}}{2}=\frac{\breve{AKB}}{2}=\breve{AK}=2\angle KMA=2\angle B_{1}MP.$
Поэтому прямая $KP$ делит угол $BMB_{1}$ равнобедренного треугольника $BMB_{1}$ пополам. Тогда $KP$ - серединный перпендикуляр к отрезку $BB_{1}$. Следовательно, $KB_{1}=KB=AK$. В равнобедренном треугольнике $AKB_{1}$ высота $KH$ является медианой, поэтому
$AH=HB_{1}=HM+MB_{1}=HM+MB.$
Второй способ. Отметим на отрезке $AM$ такую точку $B_{2}$, что $AB_{2}=MB$ (пусть $B_{2}$ лежит между точками $A$ и $H$, рис.2). Так как точки $A$ и $B$ лежат на окружности по одну сторону от хорды $KM$, то $\angle KAM=\angle KBM$. Кроме того, $AK=KB$, поэтому треугольники $KAB_{2}$ и $KBM$ равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, $KB_{2}=KM$ и треугольник $B_{2}KM$ - равнобедренный. Его высота $KH$ является медианой, поэтому $H$ - середина $B_{2}M$. Следовательно,
$AH=AB_{2}+B_{2}H=HM+MB.$
Третий способ. Рассмотрим случай, изображённый на рис.3. Пусть луч $KH$ пересекает окружность в точке $L$, лежащей на дуге $AB$, на содержащей точки $K$, а прямые $AM$ и $LB$ пересекаются в точке $B_{1}$. Вписанные углы $\angle ALK$ и $\angle BLK$ равны, т.к. каждый из них опирается на половину дуги $AKB$. Высота $LH$ треугольника $ALB_{1}$ является его биссектрисой, поэтому треугольник $ALB_{1}$ - равнобедренный. Значит,
$AH=HB_{1}~\mbox{и}~\angle MBB_{1}=180^{\circ}-\angle MBL=\angle MAL=\angle MB_{1}B.$
Поэтому треугольник $MB_{1}B$ - также равнобедренный и $MB=MB_{1}$. Следовательно,
$AH=HB_{1}=HM+MB_{1}=HM+MB.$
Аналогично для любого другого случая.
