Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3956
2019-07-03 
В треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$ и биссектриса $BE$. Известно, что $\angle BEA=45^{\circ}$. Докажите, что $\angle EHC=45^{\circ}$.
Решение:
Первый способ. Проведём из точки $E$ перпендикуляр $ED$ к прямой $AC$. Пусть $D$ - точка его пересечения со стороной $BC$. Тогда $\angle BED=45^{\circ}$. Поэтому треугольник $ABE$ равен треугольнику $DBE$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, $DE=AE$.
Из точек $E$ и $H$ отрезок $AD$ виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром $AD$. Вписанные в эту окружность углы $EHD$ и $EAD$ опираются на одну и ту же дугу. При этом $\angle ADE=\angle DAE=45^{\circ}$ как углы при основании равнобедренного прямоугольного треугольника $AED$. Следовательно,
$\angle EHC=\angle EHD=\angle DAE=45^{\circ}.$
Второй способ. Опустим из вершины $A$ перпендикуляр $AM$ на $BE$. Треугольник $AME$ равнобедренный прямоугольный. Точки $M$ и $H$ лежат на окружности с диаметром $AB$, значит, $MH=MA=ME$ (на дуги $AM$ и $MH$ опираются равные углы). Поэтому $M$ - центр описанной окружности треугольника $AHE$. Тогда $AME$ - центральный угол этой окружности, значит,
$\angle AHE=\frac{1}{2}\angle AME=\frac{1}{2}\cdot90^{\circ}=45^{\circ}.$
Следовательно,
$\angle EHC=90^{\circ}-\angle AHE=45^{\circ}.$
В треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$ и биссектриса $BE$. Известно, что $\angle BEA=45^{\circ}$. Докажите, что $\angle EHC=45^{\circ}$.
Решение:
Первый способ. Проведём из точки $E$ перпендикуляр $ED$ к прямой $AC$. Пусть $D$ - точка его пересечения со стороной $BC$. Тогда $\angle BED=45^{\circ}$. Поэтому треугольник $ABE$ равен треугольнику $DBE$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, $DE=AE$.
Из точек $E$ и $H$ отрезок $AD$ виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром $AD$. Вписанные в эту окружность углы $EHD$ и $EAD$ опираются на одну и ту же дугу. При этом $\angle ADE=\angle DAE=45^{\circ}$ как углы при основании равнобедренного прямоугольного треугольника $AED$. Следовательно,
$\angle EHC=\angle EHD=\angle DAE=45^{\circ}.$
Второй способ. Опустим из вершины $A$ перпендикуляр $AM$ на $BE$. Треугольник $AME$ равнобедренный прямоугольный. Точки $M$ и $H$ лежат на окружности с диаметром $AB$, значит, $MH=MA=ME$ (на дуги $AM$ и $MH$ опираются равные углы). Поэтому $M$ - центр описанной окружности треугольника $AHE$. Тогда $AME$ - центральный угол этой окружности, значит,
$\angle AHE=\frac{1}{2}\angle AME=\frac{1}{2}\cdot90^{\circ}=45^{\circ}.$
Следовательно,
$\angle EHC=90^{\circ}-\angle AHE=45^{\circ}.$
