Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3955
2019-07-03 
Три окружности имеют общую точку $M$ и попарно пересекаются в точках $P$, $Q$, $R$. Через произвольную точку $A$ одной из окружностей, лежащую на дуге $PQ$, не содержащей точки $M$, и точки $P$ и $Q$, в которых окружность пересекает две другие окружности, проведены прямые, пересекающие эти же две окружности в точках $B$ и $C$. Докажите, что точки $B$, $C$ и $R$ лежат на одной прямой.
Решение:
Четырёхугольники $BRMP$, $APMQ$ и $CQMR$ - вписанные. Поэтому
$\angle BRM=180^{\circ}-\angle BPM=\angle APM,~\angle MRC=\angle AQM,$
$\angle APM+\angle AQM=180^{\circ}.$
Следовательно,
$\angle BRM+\angle CRM=180^{\circ}.$
Поэтому точки $B$, $C$ и $R$ лежат на одной прямой.
Три окружности имеют общую точку $M$ и попарно пересекаются в точках $P$, $Q$, $R$. Через произвольную точку $A$ одной из окружностей, лежащую на дуге $PQ$, не содержащей точки $M$, и точки $P$ и $Q$, в которых окружность пересекает две другие окружности, проведены прямые, пересекающие эти же две окружности в точках $B$ и $C$. Докажите, что точки $B$, $C$ и $R$ лежат на одной прямой.
Решение:
Четырёхугольники $BRMP$, $APMQ$ и $CQMR$ - вписанные. Поэтому
$\angle BRM=180^{\circ}-\angle BPM=\angle APM,~\angle MRC=\angle AQM,$
$\angle APM+\angle AQM=180^{\circ}.$
Следовательно,
$\angle BRM+\angle CRM=180^{\circ}.$
Поэтому точки $B$, $C$ и $R$ лежат на одной прямой.
