Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3953
2019-07-03 
На плоскости даны прямая $l$ и две точки $A$ и $B$ по одну сторону от неё. На прямой $l$ выбраны точка $M$, сумма расстояний от которой до точек $A$ и $B$ наименьшая, и точка $N$, для которой расстояния от $A$ и $B$ равны: $AN=BN$. Докажите, что точки $A$, $B$, $M$, $N$ лежат на одной окружности.
Решение:
Пусть $B_{1}$ - точка, симметричная точке $B$ относительно прямой $l$. Докажем, что точка $M$, о которой говорится в условии задачи, - это точка точка пересечения $AB_{1}$ и $l$. Действительно, если $X$ - произвольная точка прямой $l$, отличная от $M$, то
$AX+BX=AX+B_{1}X\gt AB_{1}=AM+MB_{1}=AM+BM.$
Из условия задачи также следует, что $NA=NB=NB_{1}$, поэтому точки $A$, $B$ и $B_{1}$ лежат на окружности с центром в точке $N$ радиуса $AN$. Угол $ANB$ - центральный угол этой окружности, поэтому $\angle ANB=2\angle AB_{1}B$. Угол $AMB$ - внешний угол равнобедренного треугольника $BMB_{1}$. Поэтому
$\angle AMB=2\angle AB_{1}B=\angle ANB.$
Значит, отрезок $AB$ виден из точек $M$ и $N$ под одним и тем же углом. Следовательно, точки $M$, $N$, $A$ и $B$ расположены на одной окружности.
На плоскости даны прямая $l$ и две точки $A$ и $B$ по одну сторону от неё. На прямой $l$ выбраны точка $M$, сумма расстояний от которой до точек $A$ и $B$ наименьшая, и точка $N$, для которой расстояния от $A$ и $B$ равны: $AN=BN$. Докажите, что точки $A$, $B$, $M$, $N$ лежат на одной окружности.
Решение:
Пусть $B_{1}$ - точка, симметричная точке $B$ относительно прямой $l$. Докажем, что точка $M$, о которой говорится в условии задачи, - это точка точка пересечения $AB_{1}$ и $l$. Действительно, если $X$ - произвольная точка прямой $l$, отличная от $M$, то
$AX+BX=AX+B_{1}X\gt AB_{1}=AM+MB_{1}=AM+BM.$
Из условия задачи также следует, что $NA=NB=NB_{1}$, поэтому точки $A$, $B$ и $B_{1}$ лежат на окружности с центром в точке $N$ радиуса $AN$. Угол $ANB$ - центральный угол этой окружности, поэтому $\angle ANB=2\angle AB_{1}B$. Угол $AMB$ - внешний угол равнобедренного треугольника $BMB_{1}$. Поэтому
$\angle AMB=2\angle AB_{1}B=\angle ANB.$
Значит, отрезок $AB$ виден из точек $M$ и $N$ под одним и тем же углом. Следовательно, точки $M$, $N$, $A$ и $B$ расположены на одной окружности.
