Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3951
2019-07-03 
В треугольнике $ABC$ угол $C$ тупой. На стороне $AB$ отмечены точки $E$ и $H$, на сторонах $AC$ и $BC$ - точки $K$ и $M$ соответственно. Оказалось, что $AH=AC$, $BE=BC$, $AE=AK$, $BH=BM$. Докажите, что точки $E$, $H$, $K$, $M$ лежат на одной окружности.
Решение:
Обозначим углы треугольника $ABC$ через $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. соответственно. Поскольку
$CK=CA-AK=AH-AE=EH=BE-BH=BC-BM=CM,$
то
$\angle CKM=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}.$
Поэтому
$\angle AKM=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}.$
Поскольку
$\angle AKE=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2},$
то
$\angle EKM=180^{\circ}-\angle AKE-\angle CKM=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)-\left(90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}\right)=\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}=\angle MHB=180^{\circ}-\angle MHE.$
Следовательно, около четырёхугольника $EKMH$ можно описать окружность.
В треугольнике $ABC$ угол $C$ тупой. На стороне $AB$ отмечены точки $E$ и $H$, на сторонах $AC$ и $BC$ - точки $K$ и $M$ соответственно. Оказалось, что $AH=AC$, $BE=BC$, $AE=AK$, $BH=BM$. Докажите, что точки $E$, $H$, $K$, $M$ лежат на одной окружности.
Решение:
Обозначим углы треугольника $ABC$ через $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. соответственно. Поскольку
$CK=CA-AK=AH-AE=EH=BE-BH=BC-BM=CM,$
то
$\angle CKM=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}.$
Поэтому
$\angle AKM=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}.$
Поскольку
$\angle AKE=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2},$
то
$\angle EKM=180^{\circ}-\angle AKE-\angle CKM=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)-\left(90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}\right)=\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}=\angle MHB=180^{\circ}-\angle MHE.$
Следовательно, около четырёхугольника $EKMH$ можно описать окружность.
