ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-07-03   
На сторонах $AB$, $BC$ и $CA$ треугольника $ABC$ зелёной краской отметили соответственно точки $C_{1}$, $A_{1}$ и $B_{1}$, отличные от вершин треугольника. Оказалось, что $\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=\frac{BA_{1}}{A_{1}C}=\frac{CB_{1}}{B_{1}A}$, а $\angle BAC=\angle B_{1}A_{1}C_{1}$. Докажите, что треугольник с зелёными вершинами подобен треугольнику $ABC$.


Решение:



Пусть $M$ - такая точка на стороне $BC$, для которой $C_{1}M\parallel AC$. Предположим, что $M$ между $C$ и $A_{1}$. Тогда

$\frac{CM}{MB}=\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=\frac{CB_{1}}{B_{1}A}.$

Поэтому $MB_{1}\parallel AB$. Тогда

$\angle B_{1}MC_{1}=\angle BAC=\angle B_{1}A_{1}C_{1}.$

Поскольку отрезок $B_{1}C_{1}$ виден из точек $M$ и $A_{1}$ под одним и тем же углом, то точки $C_{1}$, $M$, $A_{1}$ и $B_{1}$ лежат на одной окружности. Следовательно,

$\angle A_{1}B_{1}C_{1}=\angle A_{1}MC_{1}=\angle C,$

и треугольники $ABC$ и $A_{1}C_{1}B_{1}$ подобны по двум углам.
Аналогично для случая, когда $M$ между $B$ и $A_{1}$.
Если же $M$ совпадает с $A_{1}$, утверждение очевидно.