Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3948
2019-07-03 
На сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $D$, $E$ и $F$ так, что $DE=BE$, $FE=CE$. Докажите, что центр описанной около треугольника $ADF$ окружности лежит на биссектрисе угла $DEF$.
Решение:
Пусть $O$ - центр описанной окружности треугольника $ADF$. Обозначим углы треугольника $ABC$ через $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ соответственно. Тогда
$\angle FED=180^{\circ}-(180^{\circ}-2\beta)-(180^{\circ}-2\gamma)=$
$=2(\beta+\gamma)-180^{\circ}=180^{\circ}-2\alpha\gt0.$
Поэтому $\alpha$ - острый угол, $\angle DOF=2\angle DAF=2\alpha$, значит, точки $E$, $F$, $O$, $D$ лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы $OED$ и $OEF$ равны, т.к. они опираются на равные хорды $OD$ и $OE$ - радиусы описанной окружности треугольника $ADF$. Следовательно, $EO$ - биссектриса угла $DEF$.
На сторонах $AB$, $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $D$, $E$ и $F$ так, что $DE=BE$, $FE=CE$. Докажите, что центр описанной около треугольника $ADF$ окружности лежит на биссектрисе угла $DEF$.
Решение:
Пусть $O$ - центр описанной окружности треугольника $ADF$. Обозначим углы треугольника $ABC$ через $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ соответственно. Тогда
$\angle FED=180^{\circ}-(180^{\circ}-2\beta)-(180^{\circ}-2\gamma)=$
$=2(\beta+\gamma)-180^{\circ}=180^{\circ}-2\alpha\gt0.$
Поэтому $\alpha$ - острый угол, $\angle DOF=2\angle DAF=2\alpha$, значит, точки $E$, $F$, $O$, $D$ лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы $OED$ и $OEF$ равны, т.к. они опираются на равные хорды $OD$ и $OE$ - радиусы описанной окружности треугольника $ADF$. Следовательно, $EO$ - биссектриса угла $DEF$.
