Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3943
2019-07-03 
Две окружности радиусов $R$ и $r$ пересекаются в точках $A$ и $B$ и касаются прямой в точках $C$ и $D$; $N$ - точка пересечения прямых $AB$ и $CD$ ($B$ между $A$ и $N$). Найдите:
1) радиус окружности, описанной около треугольника $ACD$;
2) отношение высот треугольников $NAC$ и $NAD$, опущенных из вершины $N$.
Решение:
Обозначим $\angle ACN=\alpha$, $\angle ADN=\beta$. Тогда
$AC=2R\sin\alpha,~AD=2r\sin\beta,~\frac{AC}{\sin\beta}=\frac{AD}{\sin\alpha}~\Rightarrow~\frac{2R\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{2r\sin\beta}{\sin\alpha}.$
Отсюда находим, что $\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\sqrt{\frac{r}{R}}$.
Если $R_{1}$ - радиус окружности, описанной около треугольника $ACD$, то
$R_{1}=\frac{AC}{2\sin\beta}=\frac{2R\sin\alpha}{2\sin\beta}=R\cdot\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\sqrt{rR}.$
По теореме о касательной и секущей
$CN^{2}=NA\cdot NB,~DN^{2}=NA\cdot NB.$
Поэтому $CN=DN$. Если $h_{1}$ и $h_{2}$ - высоты, о которых говорится в условии задачи, то
$\frac{h_{1}}{h_{2}}=\frac{CN\cdot\sin\alpha}{DN\cdot\sin\beta}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\sqrt{\frac{r}{R}}.$
Две окружности радиусов $R$ и $r$ пересекаются в точках $A$ и $B$ и касаются прямой в точках $C$ и $D$; $N$ - точка пересечения прямых $AB$ и $CD$ ($B$ между $A$ и $N$). Найдите:
1) радиус окружности, описанной около треугольника $ACD$;
2) отношение высот треугольников $NAC$ и $NAD$, опущенных из вершины $N$.
Решение:
Обозначим $\angle ACN=\alpha$, $\angle ADN=\beta$. Тогда
$AC=2R\sin\alpha,~AD=2r\sin\beta,~\frac{AC}{\sin\beta}=\frac{AD}{\sin\alpha}~\Rightarrow~\frac{2R\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{2r\sin\beta}{\sin\alpha}.$
Отсюда находим, что $\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\sqrt{\frac{r}{R}}$.
Если $R_{1}$ - радиус окружности, описанной около треугольника $ACD$, то
$R_{1}=\frac{AC}{2\sin\beta}=\frac{2R\sin\alpha}{2\sin\beta}=R\cdot\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\sqrt{rR}.$
По теореме о касательной и секущей
$CN^{2}=NA\cdot NB,~DN^{2}=NA\cdot NB.$
Поэтому $CN=DN$. Если $h_{1}$ и $h_{2}$ - высоты, о которых говорится в условии задачи, то
$\frac{h_{1}}{h_{2}}=\frac{CN\cdot\sin\alpha}{DN\cdot\sin\beta}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\sqrt{\frac{r}{R}}.$
