Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3942
2019-07-03 
В круге проведены два перпендикулярных диаметра $AE$ и $BF$. На дуге $EF$ взята точка $C$. Хорды $CA$ и $CB$ пересекают диаметры $BF$ и $AE$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что площадь четырёхугольника $APQB$ равна квадрату радиуса круга.
Решение:
Пусть $O$ - центр круга, $R$ - радиус. Обозначим $\angle CAE=\alpha$, $\angle CBF=\beta$. Поскольку $\alpha+\beta=45^{\circ}$, то
$tg(\alpha+\beta)=tg45^{\circ}=1,$
а т.к.
$tg(\alpha+\beta)=\frac{tg\alpha+tg\beta}{1-tg\alpha tg\beta}$
то
$tg\alpha+tg\beta=1-tg\alpha tg\beta.$
Площадь четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине произведения диагоналей, значит,
$S_{APQB}=\frac{1}{2}AQ\cdot BP=\frac{1}{2}(AO+OQ)(BO+OP)=\frac{1}{2}(R+Rtg\alpha)(R+Rtg\beta)=\frac{R^{2}}{2}(1+tg\alpha)(1+tg\beta)=\frac{R^{2}}{2}(1+tg\alpha+tg\beta+tg\alpha tg\beta)=\frac{R^{2}}{2}(1+1-tg\alpha tg\beta+tg\alpha tg\beta)=R^{2}.$
В круге проведены два перпендикулярных диаметра $AE$ и $BF$. На дуге $EF$ взята точка $C$. Хорды $CA$ и $CB$ пересекают диаметры $BF$ и $AE$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что площадь четырёхугольника $APQB$ равна квадрату радиуса круга.
Решение:
Пусть $O$ - центр круга, $R$ - радиус. Обозначим $\angle CAE=\alpha$, $\angle CBF=\beta$. Поскольку $\alpha+\beta=45^{\circ}$, то
$tg(\alpha+\beta)=tg45^{\circ}=1,$
а т.к.
$tg(\alpha+\beta)=\frac{tg\alpha+tg\beta}{1-tg\alpha tg\beta}$
то
$tg\alpha+tg\beta=1-tg\alpha tg\beta.$
Площадь четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине произведения диагоналей, значит,
$S_{APQB}=\frac{1}{2}AQ\cdot BP=\frac{1}{2}(AO+OQ)(BO+OP)=\frac{1}{2}(R+Rtg\alpha)(R+Rtg\beta)=\frac{R^{2}}{2}(1+tg\alpha)(1+tg\beta)=\frac{R^{2}}{2}(1+tg\alpha+tg\beta+tg\alpha tg\beta)=\frac{R^{2}}{2}(1+1-tg\alpha tg\beta+tg\alpha tg\beta)=R^{2}.$
