Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3941
2019-07-03 
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ больше диагонали $BD$. Точка $M$ на диагонали $AC$ такова, что около четырёхугольника $BCDM$ можно описать окружность. Докажите, что $BD$ - общая касательная окружностей, описанных около треугольников $ABM$ и $ADM$.
Решение:
Поскольку
$\angle MBD=\angle MCD=\angle BAM,$
а точки $A$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $BM$, то $BD$ - касательная к окружности, описанной около треугольника $ABM$. Действительно, если бы это было не так, то взяв на касательной, проведённой в точке $B$ к этой окружности, точку $P$, лежащую в той же полуплоскости относительно прямой $BM$, что и точка $D$, получили бы, что
$\angle MBP=\angle BAM=\angle MBD,$
что невозможно, т.к. от данного луча в заданную плоскость можно отложить ровно один угол, равный данному.
Таким образом, $BD$ - касательная к окружности, описанной около треугольника $ABM$.
Аналогично докажем, что $BD$ - касательная к окружности, описанной около треугольника $ADM$.
В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ больше диагонали $BD$. Точка $M$ на диагонали $AC$ такова, что около четырёхугольника $BCDM$ можно описать окружность. Докажите, что $BD$ - общая касательная окружностей, описанных около треугольников $ABM$ и $ADM$.
Решение:
Поскольку
$\angle MBD=\angle MCD=\angle BAM,$
а точки $A$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $BM$, то $BD$ - касательная к окружности, описанной около треугольника $ABM$. Действительно, если бы это было не так, то взяв на касательной, проведённой в точке $B$ к этой окружности, точку $P$, лежащую в той же полуплоскости относительно прямой $BM$, что и точка $D$, получили бы, что
$\angle MBP=\angle BAM=\angle MBD,$
что невозможно, т.к. от данного луча в заданную плоскость можно отложить ровно один угол, равный данному.
Таким образом, $BD$ - касательная к окружности, описанной около треугольника $ABM$.
Аналогично докажем, что $BD$ - касательная к окружности, описанной около треугольника $ADM$.
