Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3937
2019-07-03 
Четырёхугольник $ABCD$, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность с центром $O$. Докажите, что ломаная $AOC$ делит его на две равновеликие части.
Решение:
Первый способ. Пусть $K$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Если $O$ принадлежит $AC$ или $BD$, то решение очевидно. Иначе, один из получившихся четырёхугольников - выпуклый. Будем считать что это четырёхугольник $ABCO$.
Пусть тогда $M$ и $N$ - основания перпендикуляров, опущенных из точки $O$ на $AC$ и $BD$ (рис.1). Тогда
$S_{ABCO}=\frac{1}{2}AC\cdot OM+\frac{1}{2}AC\cdot BK=\frac{1}{2}AC\cdot(OM+BK)=$
$=\frac{1}{2}AC\cdot(KN+BK)=\frac{1}{4}AC\cdot BD=\frac{1}{2}S_{ABCD}.$
Второй способ. Поскольку $ON\parallel AC$, треугольник $ANC$ равновелик треугольнику $AOC$ (рис.2), поэтому $S_{ABCO}=S_{ABCN}$, а т.к. $AN$ и $CN$ - медианы треугольников $ABD$ и $CBD$, то
$S_{ABCO}=\frac{1}{2}S_{\Delta ABD}+\frac{1}{2}S_{\Delta CBD}=\frac{1}{2}(S_{\Delta ABD}+S_{\Delta CBD})=\frac{1}{2}S_{ABCD}.$
Четырёхугольник $ABCD$, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность с центром $O$. Докажите, что ломаная $AOC$ делит его на две равновеликие части.
Решение:
Первый способ. Пусть $K$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Если $O$ принадлежит $AC$ или $BD$, то решение очевидно. Иначе, один из получившихся четырёхугольников - выпуклый. Будем считать что это четырёхугольник $ABCO$.
Пусть тогда $M$ и $N$ - основания перпендикуляров, опущенных из точки $O$ на $AC$ и $BD$ (рис.1). Тогда
$S_{ABCO}=\frac{1}{2}AC\cdot OM+\frac{1}{2}AC\cdot BK=\frac{1}{2}AC\cdot(OM+BK)=$
$=\frac{1}{2}AC\cdot(KN+BK)=\frac{1}{4}AC\cdot BD=\frac{1}{2}S_{ABCD}.$
Второй способ. Поскольку $ON\parallel AC$, треугольник $ANC$ равновелик треугольнику $AOC$ (рис.2), поэтому $S_{ABCO}=S_{ABCN}$, а т.к. $AN$ и $CN$ - медианы треугольников $ABD$ и $CBD$, то
$S_{ABCO}=\frac{1}{2}S_{\Delta ABD}+\frac{1}{2}S_{\Delta CBD}=\frac{1}{2}(S_{\Delta ABD}+S_{\Delta CBD})=\frac{1}{2}S_{ABCD}.$
