ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-07-03   
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность радиуса $R$. Его диагонали взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке $P$. Найдите $AP^{2}+BP^{2}+CP^{2}+DP^{2}$ и $AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+AD^{2}$.


Решение:



Первый способ. Обозначим $\angle ADB=\alpha$, $\angle BDC=\beta$. Тогда

$AB=2R\sin\alpha,~BC=2R\sin\beta,~CD=2R\sin(90^{\circ}-\alpha)=2R\cos\alpha,$

$AD=2R\sin(90^{\circ}-\beta)=2R\cos\beta.$

Следовательно,

$AP^{2}+BP^{2}+CP^{2}+DP^{2}=AB^{2}+DC^{2}=4R^{2}\sin^{2}\alpha+4R^{2}\cos^{2}\alpha=4R^{2},$

$AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+AD^{2}=4R^{2}+4R^{2}=8R^{2}.$


Второй способ. Проведём диаметр $DD_{1}$. Поскольку $BD\perp BD_{1}$ и $BD\perp AC$, то $BD_{1}\parallel AC$, поэтому $CD_{1}=AB$. Из прямоугольного треугольника $DCD_{1}$ находим, что

$CD^{2}_{1}+CD^{2}=DD^{2}_{1}=4R^{2}.$

Поэтому

$AB^{2}+CD^{2}=4R^{2}.$

Аналогично $BC^{2}+AD^{2}=4R^{2}$. Следовательно,

$AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+AD^{2}=4R^{2}+4R^{2}=8R^{2},$

$AP^{2}+BP^{2}+CP^{2}+DP^{2}=AB^{2}+DC^{2}=4R^{2}.$


Третий способ. Пусть $O$ - центр окружности. Поскольку

$\angle AOB+\angle COD=\breve{ AB} +\breve{ CD}=2\angle APB=2\cdot90^{\circ}=180^{\circ},$

то, обозначив $\angle AOB=\phi$, получаем, что $\angle COD=180^{\circ}-\phi$. По теореме косинусов из треугольников $AOB$ и $COD$ получаем, что

$AB^{2}=AO^{2}+OB^{2}-2AO\cdot OB\cos\phi=2R^{2}(1-\cos\phi),$

$CD^{2}=CO^{2}+OD^{2}-2CO\cdot OD\cos(180^\circ-\phi)=2R^{2}(1+\cos\phi).$

Поэтому $AB^{2}+CD^{2}=4R^{2}$. Аналогично $BC^{2}+AD^{2}=4R^{2}$. Следовательно,

$AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+AD^{2}=4R^{2}+4R^{2}=8R^{2},$

$AP^{2}+BP^{2}+CP^{2}+DP^{2}=AB^{2}+DC^{2}=4R^{2}.$