ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-07-03   
Теорема Штейнера-Лемуса. Докажите, что если две биссектрисы треугольника равны, то он равнобедренный.


Решение:



Первый способ. Пусть $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ - углы при вершинах соответственно $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$; $BM$ и $CN$ - биссектрисы треугольника. Предположим, что $\beta\lt\gamma$.
Отложим от луча $CN$ в полуплоскости, содержащей точку $M$, угол $NCM_{1}$, равный $\frac{\beta}{2}$, где $M_{1}$ - точка на биссектрисе $BM$. Поскольку $\frac{\beta}{2}\lt\frac{\gamma}{2}$, то точка $M_{1}$ лежит между точками $B$ и $M$.
Отрезок $NM_{1}$ виден из точек $B$ и $C$ под одним углом, равным $\frac{\beta}{2}$. Следовательно, точки $B$, $N$, $M_{1}$ и $C$ лежат на одной окружности, а $BM_{1}$ и $CN$ - хорды этой окружности. Поскольку

$\angle BCM_{1}=\frac{\gamma}{2}+\frac{\beta}{2}\lt\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}=90^{\circ},$

$\angle BCM_{1}=\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}\gt\beta=\angle NBC,$

то хорда $BM_{1}$ видна из точки $C$ под острым углом, равным $\frac{\gamma}{2}+\frac{\beta}{2}$, а хорда $CN$ видна из точки $B$ под острым углом, равным $\beta$, причём $\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}\gt\beta$. Следовательно,

$BM\gt BM_{1}\gt CN.$

Таким образом, если углы треугольника не равны, то большему углу соответствует меньшая биссектриса. Следовательно, если биссектрисы равны, то равны и соответствующие им углы треугольника.
Второй способ. Пусть $a$, $b$ и $c$ - стороны треугольника, $\beta$ и $\gamma$ - углы, противолежащие сторонам $b$ и $c$ соответственно, $l_{b}$ и $l_{c}$ - биссектрисы треугольника, проведённые из вершин этих углов. По известной формуле для площади треугольника имеем:

$\frac{1}{2}ab\sin\gamma=\frac{1}{2}bl_{c}\sin\frac{\gamma}{2}+\frac{1}{2}al_{c}\sin\frac{\gamma}{2},$

откуда находим, что

$l_{c}=\frac{2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}.$

Аналогично

$l_{b}=\frac{2ac\cos\frac{\beta}{2}}{a+c}.$

Докажем, что если $c\gt b$, то $l_{c}\lt l_{b}$. В самом деле,

$c\gt b~\Rightarrow~\gamma\gt\beta~\Rightarrow~\frac{\gamma}{2}\gt\frac{\beta}{2}~\Rightarrow~\cos\frac{\gamma}{2}\lt\cos\frac{\beta}{2};$

$c\gt b~\Rightarrow~a+c\gt a+b~\Rightarrow~\frac{1}{a+c}\lt\frac{1}{a+b}~\Rightarrow~\frac{a}{a+c}\lt\frac{a}{a+b}~\Rightarrow~\frac{ab}{a+c}\lt\frac{ac}{a+b}~\Rightarrow~l_{c}=\frac{2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}\lt\frac{2ac\cos\frac{\beta}{2}}{a+c}=l_{b}.$

Таким образом, если стороны треугольника не равны, то к большей стороне проведена меньшая биссектриса. Следовательно, если биссектрисы равны, то равны и соответствующие им стороны треугольника.
Третий способ. Выразим квадраты обеих биссектрис через стороны треугольника (см. задачу @H4751) и приравняем полученные выражения. Пусть $p=\frac{a+b+c}{2}$. Тогда

$l_{c}^{2}=\frac{4p(p-c)ab}{(a+b)^{2}}=\frac{ab(a+b+c)(a+b-c)}{(a+b)^{2}},$

$l_{b}^{2}=\frac{4p(p-b)ac}{(a+c)^{2}}=\frac{ac(a+b+c)(a+c-b)}{(a+c)^{2}},$

$\frac{ab(a+b+c)(a+b-c)}{(a+b)^{2}}=\frac{ac(a+b+c)(a+c-b)}{(a+c)^{2}}~\Leftrightarrow~b(a+b-c)(a+c)^{2}=c(a+c-b)(a+b)^{2}~\Leftrightarrow~b^{3}c-bc^{3}+3abc(b-c)+a^{2}(b^{2}-c^{2})+a^{3}(b-c)=0~\Leftrightarrow~ \Leftrightarrow~(b-c)(b^{2}c+bc^{2}+a^{2}b+ac^{2}+a^{3}+3abc)=0.$

Выражение, стоящее во второй скобке положительно, поэтому $b=c$.