Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3930
2019-07-03 
Дана окружность с диаметром $AB$. Вторая окружность с центром в точке $A$ пересекает первую в точках $C$ и $D$, а диаметр $AB$ - в точке $E$. На дуге $CE$, не содержащей точки $D$, взята точка $M$, отличная от точек $C$ и $E$. Луч $BM$ пересекает первую окружность в точке $N$. Известно, что $CN=a$, $DN=b$. Найдите $MN$.
Решение:
Пусть $M_{1}$ - ещё одна точка пересечения луча $BM$ со второй окружностью, а $P$ - точка пересечения этой окружности с лучом $DN$.
Поскольку $AN\perp MM_{1}$, то $M_{1}N=MN$ (диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам), а т.к. $B$ - середина дуги $CD$, не содержащей точки $A$, то
$\angle PNM_{1}=\angle BND=\angle BNC=\angle CNM.$
При симметрии относительно прямой $AN$ точка $M$ переходит в $M_{1}$, луч $NC$ - в луч $NP$, а вторая окружность - в себя. Поэтому треугольник $NCM$ переходит в треугольник $NPM_{1}$. Значит, эти треугольники равны. Поэтому $PN=CN=a$.
По теореме о равенстве произведений отрезков пересекающихся хорд окружности
$MN^{2}=MN\cdot NM_{1}=PN\cdot DN=CN\cdot DN=ab.$
Следовательно, $MN=\sqrt{ab}$.
Дана окружность с диаметром $AB$. Вторая окружность с центром в точке $A$ пересекает первую в точках $C$ и $D$, а диаметр $AB$ - в точке $E$. На дуге $CE$, не содержащей точки $D$, взята точка $M$, отличная от точек $C$ и $E$. Луч $BM$ пересекает первую окружность в точке $N$. Известно, что $CN=a$, $DN=b$. Найдите $MN$.
Решение:
Пусть $M_{1}$ - ещё одна точка пересечения луча $BM$ со второй окружностью, а $P$ - точка пересечения этой окружности с лучом $DN$.
Поскольку $AN\perp MM_{1}$, то $M_{1}N=MN$ (диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам), а т.к. $B$ - середина дуги $CD$, не содержащей точки $A$, то
$\angle PNM_{1}=\angle BND=\angle BNC=\angle CNM.$
При симметрии относительно прямой $AN$ точка $M$ переходит в $M_{1}$, луч $NC$ - в луч $NP$, а вторая окружность - в себя. Поэтому треугольник $NCM$ переходит в треугольник $NPM_{1}$. Значит, эти треугольники равны. Поэтому $PN=CN=a$.
По теореме о равенстве произведений отрезков пересекающихся хорд окружности
$MN^{2}=MN\cdot NM_{1}=PN\cdot DN=CN\cdot DN=ab.$
Следовательно, $MN=\sqrt{ab}$.
